برای حل این سوال، باید از نسبت طول پاره‌خط‌ها و مساحت مثلث‌ها استفاده کنیم. سوال می‌گوید \( BD = \frac{1}{3} DC \). بر اساس خواص خطوط موازی و نسبت‌های تشابه در مثلث، اگر \( BD = \frac{1}{3} DC \) باشد، می‌توان گفت که نسبت طول پاره‌خط‌ها بر مساحت مثلث‌ها نیز اثر می‌گذارد. مثلث \( \triangle ABE \) و \( \triangle AEC \) قسمتی از مثلث \( \triangle ABC \) هستند و خط \( DE \) موازی با \( BC \) است. با توجه به نسبت گفته شده برای مساحت‌ها، اگر \( BD = \frac{1}{3} DC \)، مساحت مثلث‌ها به صورت زیر تقسیم می‌شود: \[ \frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle AEC}} = \left(\frac{BD}{DC}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9} \] پس گزینه درست، گزینه \( \frac{1}{9} \) است.