برای حل این سوال، باید از نسبت طول پاره‌خط‌ها و مساحت مثلث‌ها استفاده کنیم. سوال می‌گوید \( BD = \frac{1}{3} DC \).
بر اساس خواص خطوط موازی و نسبت‌های تشابه در مثلث، اگر \( BD = \frac{1}{3} DC \) باشد، می‌توان گفت که نسبت طول پاره‌خط‌ها بر مساحت مثلث‌ها نیز اثر می‌گذارد.
مثلث \( \triangle ABE \) و \( \triangle AEC \) قسمتی از مثلث \( \triangle ABC \) هستند و خط \( DE \) موازی با \( BC \) است.
با توجه به نسبت گفته شده برای مساحت‌ها، اگر \( BD = \frac{1}{3} DC \)، مساحت مثلث‌ها به صورت زیر تقسیم می‌شود:
\[
\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle AEC}} = \left(\frac{BD}{DC}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}
\]
پس گزینه درست، گزینه \( \frac{1}{9} \) است.
