برای حل این مسئله، باید نابرابری‌ها را با هم مقایسه کرده و ضرایب مشترک پیدا کنیم:
\[
\frac{x}{5} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{4} = \frac{x+2y+3z+1}{k}
\]
هر یک از این نسبت‌ها مساوی با یک عدد مشترک \( t \) می‌باشند:
1. از \(\frac{x}{5} = t\)، خواهیم داشت: \( x = 5t \).
2. از \(\frac{y-1}{3} = t\)، خواهیم داشت: \( y - 1 = 3t \) یا \( y = 3t + 1 \).
3. از \(\frac{z+1}{4} = t\)، خواهیم داشت: \( z + 1 = 4t \) یا \( z = 4t - 1 \).
4. از \(\frac{x+2y+3z+1}{k} = t\)، خواهیم داشت:
\[
x + 2y + 3z + 1 = kt
\]
با جایگزینی \( x \)، \( y \)، و \( z \) به معادله چهارم:
\[
5t + 2(3t + 1) + 3(4t - 1) + 1 = kt
\]
گسترش و ساده‌سازی طرف چپ:
\[
5t + 6t + 2 + 12t - 3 + 1 = kt
\]
جمع‌کردن ضرایب \( t \):
\[
23t = kt
\]
بنابراین، \( k = 23 \).
گزینه صحیح: پ (23)
