برای حل این مسأله مراحل زیر را دنبال میکنیم:
فرض کنید مکعبی با ضلع ۵ واحد داشته باشیم. تعداد کل مکعبهای کوچکتر \(1\times1\times1\) داخل این مکعب بزرگ برابر است با:
\[ 5 \times 5 \times 5 = 125 \]
**الف) مکعبهایی که اصلاً رنگ نمیشوند:**
مکعبهایی که داخل مکعب بزرگ قرار دارند و هیچیک از وجههای آنها به بیرون مرتبط نیستند.
یک مکعب داخلی دیگر با اندازه ضلع ۳ در مرکز مکعب وجود دارد، که روی آن رنگ نشده است. بنابراین تعداد مکعبهای داخلی که رنگ نمیشوند برابر است با:
\[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
**ب) مکعبهایی که فقط یک وجه رنگ میشوند:**
مکعبهایی که در یک ردیف به فاصله یک واحد از حاشیه قرار دارند، مثلاً یک لایه داخلی:
برای بدست آوردن تعداد این مکعبها، باید مکعبهای بیرونی و داخلی را کم کنیم. پس مکعبهای داخلی، لایههای کناری دارند:
جابجا شدن به اندازه یک واحد از هر طرف باعث میشود ضلع ۱ واحد کوتاه شود، بنابراین تعداد مکعبهای لایه یک واچا از هر سمت را به دست میآوریم:
لایههایی که یک واحد از هر وجه کنار قرار دارند و تنها در یک وجه پوشش دارند،:
\[ (5-2) \times (5-2) \times 6 = 3 \times 3 \times 6 = 54 \]
بنابراین:
- تعداد مکعبهایی که اصلاً رنگ نمیشوند: ۲۷
- تعداد مکعبهایی که فقط یک وجه آنها رنگ میشود: ۵۴
