کسر تلسکوپی یک نوع کسر جبری است که در آن صورت و مخرج کسر میتوانند با یکدیگر به طور کامل یا جزئی ساده شوند. در این نوع کسرها، معمولاً میتوان تعداد زیادی از جملات را در صورت و مخرج پیدا کرد که برخی از آنها یکدیگر را لغو میکنند.
برای درک بهتر، بیایید یک مثال را بررسی کنیم:
فرض کنید که یک کسر به شکل زیر باشد:
\[
\frac{(x^2 - 1)}{(x - 1)(x + 1)}
\]
در اینجا، صورت کسر \(x^2 - 1\) که یک دماست را میتوان به صورت حاصلضرب دو عبارت سادهتر نوشت:
\[
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
\]
بنابراین، کسر ما به شکل زیر ساده میشود:
\[
\frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}
\]
حال، اگر \(x \neq 1\) و \(x \neq -1\) باشد، میتوانیم قسمت مشترک \((x - 1)(x + 1)\) را لغو کنیم و به نتیجه زیر برسیم:
\[
1
\]
کسرهایی که به این صورت قابلیت ساده شدن دارند، کسرهای تلسکوپی نامیده میشوند. در واقع، کسرهای تلسکوپی غالباً از مفهوم «تلکوسکوپ» (تلسکوپ) گرفته شدهاند، چرا که با کسرهای سادهتر میتوان به نتایج واضحتری دست یافت.
به یاد داشته باشید که در هنگام ساده کردن کسرهای تلسکوپی، باید به دقت دامنههای x را در نظر بگیرید؛ به طوری که تقسیم بر صفر به وجود نیاید.
