در این سوال، میخواهیم ابعاد [A] و [B] را در رابطه \( x = Aa^n + Bv^m \) پیدا کنیم.
1. ابتدا ابعاد \( x \) را در نظر میگیریم. با توجه به اینکه \( x \) جابجایی است، واحد آن متر \( [L] \) است.
2. \( a \) شتاب است و واحد آن متر بر مجذور ثانیه \( [LT^{-2}] \) است.
3. \( v \) سرعت است و واحد آن متر بر ثانیه \( [LT^{-1}] \) است.
برای اینکه دو جمله \( Aa^n \) و \( Bv^m \) همبعد با \( x \) باشند، باید:
\[ [A][a]^n = [L] \Rightarrow [A] = [L][T^{2n}][L^{-n}] = [T^{2n}][L^{1-n}] \]
و
\[ [B][v]^m = [L] \Rightarrow [B] = [L][T^m][L^{-m}] = [T^m][L^{1-m}] \]
حال با توجه به دادههای مسئله:
\( a \) با واحد \( cm/s^2 \) و \( v \) با واحد \( nm/µs \) داده شدهاند. به عبارت دیگر:
\[ [a] = [dm][s^{-2}] \]
\[ [v] = [nm][µs^{-1}] \]
حال باید ابعاد \( [A] \) و \( [B] \) را بر اساس واحدهایی که داده شده است پیدا کنیم.
از آنجا که بعد تنها فضای کلی و زمان است، میتوان نتیجه گرفت:
گزینه \( 3 \) صحیح است یعنی \( [A] = ms^{-2} \) و \( [B] = cms^{-1} \).
