برای حل سوال به ترتیب به گزینههای الف، ب و ج نگاه میکنیم:
الف) داده شده:
\[
\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix} 6 \\ -3 \end{bmatrix}
\]
برای بررسی گزینهها، به ضرایب مقایس بین دو بردار نگاه میکنیم:
- \(\vec{b} = 3\vec{a}\) به این معنی است که هر دو عنصر \(\vec{b}\) باید سه برابر \(\vec{a}\) باشند و این درست نیست.
- \(\vec{b} = -3\vec{a}\) به این معنی است که هر دو عنصر \(\vec{b}\) باید برابر با منفی سه برابر \(\vec{a}\) باشند، که نیز درست نیست.
- \(\vec{a} = 3\vec{b}\) و \(\vec{a} = -3\vec{b}\) نیز درست نیستند.
پس هیچ گزینهای درست نیست.
ب) در معادله:
\[
\begin{bmatrix} 1 \\ -y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\]
این معادله را حل میکنیم:
\[
\begin{bmatrix} -5+1 \\ 2-y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
\]
بنابراین:
\[
x = -4, \quad y = 2+y \quad \Rightarrow \quad y = 0
\]
بنابراین مختصات \(\vec{x}\) برابر است با:
\[
\begin{bmatrix} -4 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
که با هیچکدام از گزینههای داده شده مطابقت ندارد.
ج) \(\vec{a} = -2\vec{i} - 3\vec{j}\) داده شده است. بنابراین بردار میتواند:
\[
\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}
\]
باشد که گزینه \(\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}\) صحیح است.
در نتیجه:
ـ برای بخش (الف) هیچ گزینهای درست نیست.
ـ برای بخش (ب) هیچ گزینهای تطابق ندارد.
ـ برای بخش (ج) گزینهی \(\vec{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}\) صحیح است.
