برای حل این معادله و یافتن جواب‌های آن مراحل زیر را دنبال کنید: 1. معادله‌ی داده شده به شکل ترکیب‌های عاملی است. سمت چپ معادله \(\frac{(x+3)!}{4!(x-1)!} = x(x+2)\) قرار دارد. برای ساده‌سازی، این معادله را به صورت: \[ \frac{(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)!}{4!(x-1)!} \] نوشته شده است. بخش \((x-1)!\) در صورت و مخرج حذف می‌شود و باقی مانده عبارت برابر: \[ \frac{(x+3)(x+2)(x+1)x}{24} \] می‌باشد. 2. این عبارت باید با \(x(x+2)\) مساوی شود، بنابراین معادله به شکل زیر نوشته می‌شود: \[ \frac{(x+3)(x+2)(x+1)x}{24} = x(x+2) \] 3. x و \((x+2)\) از دو طرف معادله حذف می‌شود و به معادله زیر می‌رسیم: \[ \frac{(x+3)(x+1)}{24} = 1 \] 4. این معادله به شکل: \[ (x+3)(x+1) = 24 \] 5. عبارت \((x+3)(x+1)\) را بسط داده و معادله‌ی درجه دوم زیر به دست می‌آید: \[ x^2 + 4x + 3 = 24 \] 6. این معادله برابر با: \[ x^2 + 4x - 21 = 0 \] 7. برای حل این معادله درجه دوم، ریشه‌ها را با استفاده از فرمول کلی ریشه‌ی معادله درجه دوم \((ax^2 + bx + c = 0)\) بدست می‌آوریم: \[ (x+7)(x-3) = 0 \] 8. جواب‌ها \(x = -7\) و \(x = 3\) هستند. ولی نظر به اینکه در صورت سوال گفته شده \(x= -7\) پذیرفته نمی‌شود، بنابراین تنها جواب \(x = 3\) می‌ماند. محاسبات بالا ساده‌سازی شده و به خوبی نشان می‌دهد که چطور این راه‌حل به دست آمده است.