برای حل این معادله و یافتن جوابهای آن مراحل زیر را دنبال کنید:
1. معادلهی داده شده به شکل ترکیبهای عاملی است. سمت چپ معادله \(\frac{(x+3)!}{4!(x-1)!} = x(x+2)\) قرار دارد. برای سادهسازی، این معادله را به صورت:
\[
\frac{(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)!}{4!(x-1)!}
\]
نوشته شده است. بخش \((x-1)!\) در صورت و مخرج حذف میشود و باقی مانده عبارت برابر:
\[
\frac{(x+3)(x+2)(x+1)x}{24}
\]
میباشد.
2. این عبارت باید با \(x(x+2)\) مساوی شود، بنابراین معادله به شکل زیر نوشته میشود:
\[
\frac{(x+3)(x+2)(x+1)x}{24} = x(x+2)
\]
3. x و \((x+2)\) از دو طرف معادله حذف میشود و به معادله زیر میرسیم:
\[
\frac{(x+3)(x+1)}{24} = 1
\]
4. این معادله به شکل:
\[
(x+3)(x+1) = 24
\]
5. عبارت \((x+3)(x+1)\) را بسط داده و معادلهی درجه دوم زیر به دست میآید:
\[
x^2 + 4x + 3 = 24
\]
6. این معادله برابر با:
\[
x^2 + 4x - 21 = 0
\]
7. برای حل این معادله درجه دوم، ریشهها را با استفاده از فرمول کلی ریشهی معادله درجه دوم \((ax^2 + bx + c = 0)\) بدست میآوریم:
\[
(x+7)(x-3) = 0
\]
8. جوابها \(x = -7\) و \(x = 3\) هستند. ولی نظر به اینکه در صورت سوال گفته شده \(x= -7\) پذیرفته نمیشود، بنابراین تنها جواب \(x = 3\) میماند.
محاسبات بالا سادهسازی شده و به خوبی نشان میدهد که چطور این راهحل به دست آمده است.
