جواب سوال

برای بررسی مشتق‌پذیری تابع \( f(x) \) در نقطه \( x = 0 \)، باید پیوستگی و مشتق‌پذیری آن‌را در این نقطه بررسی کنیم. تابع به صورت زیر تعریف شده است: \[ f(x) = \begin{cases} x^r + x & x < 0 \x & x \geq 0 \end{cases} \] ### ۱. پیوستگی: تابع در نقطه \( x = 0 \) پیوسته است اگر و فقط اگر: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) \] محاسبه حد سمت چپ (\( x \to 0^- \)): \[ \lim_{x \to 0^-}(x^r + x) = \lim_{x \to 0^-} x^r + \lim_{x \to 0^-} x = 0^r + 0 = 0 \] محاسبه حد سمت راست (\( x \to 0^+ \)): \[ \lim_{x \to 0^+} x = 0 \] تابع در نقطه \( x = 0 \) برابر خود صفر است: \( f(0) = 0 \). نیز: \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0 \] بنابراین، تابع در \( x = 0 \) پیوسته است. ### ۲. مشتق‌پذیری: برای مشتق‌پذیری، باید بررسی کنیم که \( f'(0^-) = f'(0^+) \) موجود و برابر باشند. مشتق از چپ (\( x \to 0^- \)): \[ f'(x) = (x^r + x)' = r x^{r-1} + 1 \] \[ \lim_{x \to 0^-} (r x^{r-1} + 1) = 0 + 1 = 1 \] مشتق از راست (\( x \to 0^+ \)): \[ f'(x) = 1 \] \[ \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 \] چون \( f'(0^-) = f'(0^+) = 1 \)، تابع در \( x = 0 \) مشتق‌پذیر است و مشتق آن برابر ۱ است. بنابراین، شرایط پیوستگی و مشتق‌پذیری در نقطه \( x = 0 \) برقرار است.