برای بررسی مشتق‌پذیری تابع \( f(x) \) در نقطه \( x = 0 \)، باید پیوستگی و مشتق‌پذیری آن‌را در این نقطه بررسی کنیم.
تابع به صورت زیر تعریف شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^r + x & x < 0 \x & x \geq 0
\end{cases}
\]
### ۱. پیوستگی:
تابع در نقطه \( x = 0 \) پیوسته است اگر و فقط اگر:
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
\]
محاسبه حد سمت چپ (\( x \to 0^- \)):
\[
\lim_{x \to 0^-}(x^r + x) = \lim_{x \to 0^-} x^r + \lim_{x \to 0^-} x = 0^r + 0 = 0
\]
محاسبه حد سمت راست (\( x \to 0^+ \)):
\[
\lim_{x \to 0^+} x = 0
\]
تابع در نقطه \( x = 0 \) برابر خود صفر است: \( f(0) = 0 \).
نیز:
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0
\]
بنابراین، تابع در \( x = 0 \) پیوسته است.
### ۲. مشتق‌پذیری:
برای مشتق‌پذیری، باید بررسی کنیم که \( f'(0^-) = f'(0^+) \) موجود و برابر باشند.
مشتق از چپ (\( x \to 0^- \)):
\[
f'(x) = (x^r + x)' = r x^{r-1} + 1
\]
\[
\lim_{x \to 0^-} (r x^{r-1} + 1) = 0 + 1 = 1
\]
مشتق از راست (\( x \to 0^+ \)):
\[
f'(x) = 1
\]
\[
\lim_{x \to 0^+} 1 = 1
\]
چون \( f'(0^-) = f'(0^+) = 1 \)، تابع در \( x = 0 \) مشتق‌پذیر است و مشتق آن برابر ۱ است.
بنابراین، شرایط پیوستگی و مشتق‌پذیری در نقطه \( x = 0 \) برقرار است.
