چرا در این سوال تابع چند ضابطه ای ضابطه ها رو برابر قرار داده؟مگه ضابطه ها برابرن

تابع چند ضابطه‌ای \( f(x) \) در این سوال دارای دو ضابطه برای دو بازه متفاوت است: یکی برای \( x \geq 1 \) و دیگری برای \( x < 1 \). هدف این است که تابع خطی باشد، یعنی تابع به گونه‌ای تعریف شود که در هر دو بازه بر روی یک خط مستقیم واقع شود و پیوسته باشد. برای این کار، ضابطه‌های تابع در نقطه‌ای که تغییر بازه اتفاق می‌افتد (یعنی \( x = 1 \)) باید برابر شوند تا تابع پیوسته باشد و در نتیجه خط مستقیم در نظر گرفته شود. ضابطه در \( x \geq 1 \) برابر \( (a+1)x - 1 \) و برای \( x < 1 \) برابر \( 3x + b \) است. برای پیوستگی و خطی بودن تابع باید ضرایب شیب‌ها برابر بوده و نقاط آن‌ها نیز در خطی یکسان قرار گیرد: \[ (a+1)x - 1 = 3x + b \] با برابر قرار دادن ضابطه‌ها، به معادله زیر می‌رسیم: \[ a + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] و برای اینکه دو ضابطه در نقطه \( x = 1 \) پیوسته باشند: \[ 3 \times 1 + b = 3(1) - 1 \] این به معنای برابر کردن مقادیر در \( x = 1 \) است. بنابراین: \[ b = -1 \] در نتیجه تابع به فرم \( f(x) = 3x - 1 \) بازنویسی می‌شود و معادله‌های هر دو بخش در بازه خود یک خط مستقیم تشکیل می‌دهند که در نقطه تغییر بازه (یعنی \( x = 1 \)) پیوسته است.