برای به‌دست آوردن دامنه تابع مرکب \( f \circ g \)، ابتدا دامنه هر یک از توابع \( f(x) \) و \( g(x) \) را بررسی می‌کنیم.
**دامنه \( g(x) \):**
تابع \( g(x) = \sqrt{x-4} \) است. دامنه \( g(x) \) زمانی تعریف شده است که عبارت زیر رادیکال نامنفی باشد:
\[ x - 4 \geq 0 \]
بنابراین، دامنه \( g(x) \) برابر است با \( x \geq 4 \).
**دامنه \( f(x) \):**
تابع \( f(x) = \frac{x}{x-1} \) است. این تابع زمانی تعریف شده است که مخرج صفر نباشد:
\[ x - 1 \neq 0 \]
بنابراین، دامنه \( f(x) \) همه اعداد حقیقی به جز \( x = 1 \) است.
**دامنه \( f \circ g \):**
تابع \( f \circ g \) برابر است با \( f(g(x)) = f(\sqrt{x-4}) \).
برای تعیین دامنه تابع مرکب، دو شرط زیر باید برقرار باشد:
1. دامنه \( g(x) \): \( x \geq 4 \)
2. شرط تعریف \( f(g(x)) \): چون \( f(x) \) در \( x = 1 \) تعریف نشده است، باید
\[ g(x) \neq 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x-4} \neq 1 \]
که با حل آن داریم:
\[
x - 4 \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq 5
\]
ترکیب دو شرط برای دامنه نهایی تابع \( f \circ g \) به این صورت است:
\[ x \geq 4 \quad \text{و} \quad x \neq 5 \]
بنابراین، دامنه تابع \( f \circ g \) برابر است با \( x \geq 4 \) به جز \( x = 5 \)، یعنی:
\[ ERROR ULTRAFUNCTION:Bad Command:4, 5) \cup (5, \infty) \
