برای حل مسئله مثلث \(ABC\) با طول‌های \(AB = 15\)، \(AC = 16\) و محیط \(74\)، ابتدا باید طول ضلع سوم \(BC\) را پیدا کنیم.
محیط مثلث برابر است با جمع طول سه ضلع:
\[ AB + AC + BC = 74 \]
با جایگذاری مقادیر داده شده:
\[ 15 + 16 + BC = 74 \]
\[ BC = 74 - 31 = 43 \]
پس طول ضلع \(BC\) برابر با \(43\) است.
اکنون با داشتن طول سه ضلع، برای محاسبه مساحت مثلث می‌توانیم از فرمول هرون استفاده کنیم. ابتدا نیم‌محیط را محاسبه می‌کنیم:
\[ s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{74}{2} = 37 \]
سپس مساحت مثلث با فرمول هرون به دست می‌آید:
\[ A = \sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BC)} \]
\[ A = \sqrt{37(37-15)(37-16)(37-43)} \]
محاسبات را انجام می‌دهیم:
\[ A = \sqrt{37 \times 22 \times 21 \times (-6)} \]
از آنجایی که داخل رادیکال منفی است، محاسبه غیرممکن می‌شود و نشان
