برای حل معادله \(\tan x \cdot \tan 3x = 1\)، میتوانیم از روابط مثلثاتی استفاده کنیم. هدف ما این است که مقادیر \(x\) را پیدا کنیم که در این معادله صدق کنند.
ابتدا به رابطه \( \tan 3x \) میپردازیم. رابطهی \( \tan 3x \) به صورت زیر است:
\[
\tan 3x = \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x}
\]
جایگذاری این رابطه در معادله اصلی داریم:
\[
\tan x \cdot \frac{3\tan x - \tan^3 x}{1 - 3\tan^2 x} = 1
\]
با سادهسازی:
\[
\tan x (3\tan x - \tan^3 x) = 1 - 3\tan^2 x
\]
\[
3\tan^2 x - \tan^4 x = 1 - 3\tan^2 x
\]
به معادله زیر میرسیم:
\[
4\tan^2 x - \tan^4 x - 1 = 0
\]
با تعریف \( y = \tan^2 x \)، داریم:
\[
4y - y^2 - 1 = 0
\]
حل میکنیم:
\[
y^2 - 4y + 1 = 0
\]
این معادله درجه دومی است که برای آن میتوانیم از فرمول حل معادله درجه دوم استفاده کنیم:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در آن \(a = 1\)، \(b = -4\)، \(c = 1\) داریم:
\[
y = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2}
\]
\[
y = 2 \pm \sqrt{3}
\]
بنابراین دو جواب برای \(\tan^2 x\) داریم:
- \( \tan^2 x = 2 + \sqrt{3} \)
- \( \tan^2 x = 2 - \sqrt{3} \)
برای اینکه \(\tan x\) را به دست آوریم، کافی است که جذر بگیریم:
1. \(\tan x = \pm \sqrt{2 + \sqrt{3}}\)
2. \(\tan x = \pm \sqrt{2 - \sqrt{3}}\)
این مقادیر \(\tan x\) هستند که میتوانند بسته به دامنه تعریف تانژانت برای \(x\) مختلف تکرار شوند.
