برای یافتن جمله n ام دنباله \(3\)، \(8\)، \(15\)، \(24\) و \(35\)، ابتدا بایستی الگوی این دنباله را شناسایی کنیم.
بیایید اختلافات بین جملههای متوالی را محاسبه کنیم:
- \(8 - 3 = 5\)
- \(15 - 8 = 7\)
- \(24 - 15 = 9\)
- \(35 - 24 = 11\)
حالا اختلافات را بررسی میکنیم:
- تفاوت اول \(5\)، \(7\)، \(9\)، \(11\) است.
اختلافات بین این اختلافات را محاسبه میکنیم:
- \(7 - 5 = 2\)
- \(9 - 7 = 2\)
- \(11 - 9 = 2\)
از آنجا که اختلافات دوم ثابت \(2\) است، میتوانیم نتیجه بگیریم که دنباله یک دنباله درجه دوست.
فرمول کلی دنبالهای از نوع \(a_n = an^2 + bn + c\) را میپذیریم. حالا برای پیدا کردن \(a\)، \(b\) و \(c\) از سه جمله اول دنباله استفاده میکنیم:
1. برای \(n=1\):
\[
a(1)^2 + b(1) + c = 3 \quad \text{(معادله 1)}
\]
2. برای \(n=2\):
\[
a(2)^2 + b(2) + c = 8 \quad \text{(معادله 2)}
\]
3. برای \(n=3\):
\[
a(3)^2 + b(3) + c = 15 \quad \text{(معادله 3)}
\]
این سه معادله را حل میکنیم.
معادله 1:
\[
a + b + c = 3
\]
معادله 2:
\[
4a + 2b + c = 8
\]
معادله 3:
\[
9a + 3b + c = 15
\]
حالا از معادله 1 معادله 2 را کم میکنیم:
\[
(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 8 - 3
\]
\[
3a + b = 5 \quad \text{(معادله 4)}
\]
سپس از معادله 2 معادله 3 را کم میکنیم:
\[
(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 15 - 8
\]
\[
5a + b = 7 \quad \text{(معادله 5)}
\]
حالا معادله 4 و معادله 5 را حل میکنیم:
از معادله 4:
\[
b = 5 - 3a
\]
و این را در معادله 5 جاگذاری میکنیم:
\[
5a + (5 - 3a) = 7
\]
\[
2a + 5 = 7
\]
\[
2a = 2 \Rightarrow a = 1
\]
حالا \(a\) را در معادله 4 جاگذاری میکنیم تا \(b\) را پیدا کنیم:
\[
3(1) + b = 5 \Rightarrow b = 2
\]
و حالا \(a\) و \(b\) را در معادله 1 جاگذاری میکنیم تا \(c\) را پیدا کنیم:
\[
1 + 2 + c = 3 \Rightarrow c = 0
\]
پس فرمول دنباله به صورت زیر خواهد بود:
\[
a_n = n^2 + 2n
\]
برای محاسبه جمله \(n\) ام:
\[
a_n = n^2 + 2n
\]
شما میتوانید این فرمول را برای هر عدد طبیعی \(n\) به کار ببرید و جمله n ام دنباله را پیدا کنید.
