برای رسم نمودار تابع \( y = x^3 - 3x^2 + 3x \) به کمک نمودار تابع \( y = x^3 \)، میتوانیم به تحلیل جابجایی و تغییرات در تابع پایه بپردازیم.
### تحلیل تابع
1. **تابع پایه**: تابع پایه \( y = x^3 \) یک تابع مکعبی ساده است که از مبدأ مختصات میگذرد و شکل Sمانند دارد.
2. **تفریق \(3x^2\)**: ضریبی از \( x^2 \) باعث تغییر شکل نمودار از Sمانند به یک نمودار با انحناهای متفاوت میشود. این بخش تابع باعث ایجاد انحنا در قسمت سمت راست نمودار میشود.
3. **افزودن \(3x\)**: ضریبی از \( x \) میتواند بهنوعی شیب تابع را تغییر دهد و نمودار را به طرفین افقی جابجا کند.
### رسم نمودار
1. **محاسبه نقاط بحرانی**: برای پیدا کردن نقاط بحرانی، مشتق تابع را صفر قرار میدهیم:
\[
y' = 3x^2 - 6x + 3 = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x-1)^2
\]
معادله \( (x-1)^2 = 0 \) یک ریشه دارد: \( x = 1 \). این نشاندهندهی یک نقطه بحرانی است. چون \( (x-1)^2 \) همیشه غیرمنفی است، نقطه \( x=1 \) یک نقطه بحرانی کوچککننده (نقطه مینیمم) است.
2. **رسم کلی**: با استفاده از تغییرات مشتق، نمودار باید به شکل زیر رسم شود:
- در \( x = 1 \) یک مینیمم محلی داریم.
- برای \( x < 1 \) تابع نزولی و برای \( x > 1 \) تابع صعودی است.
با توجه به این تحلیل، میتوانید نمودار تقریبی را رسم کنید که نشاندهنده تغییرات و نقاط بحرانی این تابع نسبت به تابع مکعبی پایه است.
