برای حل این سوال، ابتدا باید تابع \( f(x) = \sqrt{x-2} \) و وارون آن \( f^{-1}(x) \) را پیدا کنیم.
### مرحله 1: پیدا کردن تابع وارون
فرض کنید \( y = f(x) = \sqrt{x-2} \).
برای پیدا کردن وارون، باید \( x \) را بر حسب \( y \) بنویسیم:
\[
y = \sqrt{x-2}
\]
دو طرف معادله را به توان 2 میرسانیم:
\[
y^2 = x-2
\]
حل برای \( x \):
\[
x = y^2 + 2
\]
بنابراین، تابع وارون به صورت زیر است:
\[
f^{-1}(x) = x^2 + 2
\]
### مرحله 2: ترکیب توابع \( f \) و \( f^{-1} \)
حالا ترکیب \( f(f^{-1}(x)) \) را پیدا میکنیم:
\[
f(f^{-1}(x)) = f(x^2 + 2)
\]
طبق تعریف تابع \( f \):
\[
f(x^2 + 2) = \sqrt{(x^2 + 2) - 2} = \sqrt{x^2} = |x|
\]
### نتیجهگیری
تابع ترکیبی \( f(f^{-1}(x)) = |x| \) است.
اما باید به دامنهها توجه کنیم. دامنه تابع اصلی \( f(x) \) یعنی \(\sqrt{x-2}\)، باید \( x \geq 2 \) باشد.
بنابراین دامنهای که \( f(f^{-1}(x)) = |x| \) تعریف شده است برابر با مجموعه \(\{x: x \geq 0\}\) است.
نتیجه نهایی: برای \( f(f^{-1}(x)) = x \)، دامنهی \( x \geq 0 \) است.
