برای حل نامعادله‌ی داده شده:
\[
\frac{x^2 - x + 4}{x} \leq x^2 - 4x + 5
\]
ابتدا طرفین نامعادله را یک کسر با مخرج مشترک قرار می‌دهیم تا بتوانیم یک نامعادله یک‌جا بنویسیم:
معادله‌ی اصلی به صورت زیر در می‌آید:
\[
\frac{x^2 - x + 4}{x} \leq x^2 - 4x + 5
\]
ابتدا کسری که در سمت چپ داریم را ساده‌سازی می‌کنیم. در اینجا هر دو طرف را به \( x \) ضرب می‌کنیم (با توجه به شرط \( x \neq 0 \)):
\[
x^2 - x + 4 \leq x(x^2 - 4x + 5)
\]
ساده‌سازی می‌کنیم:
\[
x^2 - x + 4 \leq x^3 - 4x^2 + 5x
\]
همه‌چیز را به یک طرف می‌بریم:
\[
0 \leq x^3 - 5x^2 + 6x - 4
\]
برای یافتن نقاط بحرانی، معادلهٔ \( x^3 - 5x^2 + 6x - 4 = 0 \) را باید حل کنیم و تعیین علامت کنیم.
در اینجا باید این چندجمله‌ای را به روش‌های مختلف مانند ریشه‌گیری عددی یا روش‌های دیگر حل کرده و جدول تعیین علامت درست کرد.
در نهایت با در نظر گرفتن نقاط بحرانی و علامت‌های بخش‌های بین آن‌ها، بازه(های) خاصیتی که خروجی مثبت می‌شود را به دست آورید.
پیشنهاد می‌کنم با آزمایش عددی و استفاده از نرم‌افزارهای حل معادله، نیز این فرآیند را انجام دهید تا تضمین صحت نتیجه‌گیری داشته باشید.
