پاسخ تشریحی برای سوالات:
1. **در یک دنباله هندسی جملهی سوم و جملهی هفتم ۴۰ است. جملهی اول کدام است؟**
یک دنباله هندسی به فرم زیر است:
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]
جمله سوم: \[ a \cdot r^2 \]
جمله هفتم: \[ a \cdot r^6 \]
نسبت جملهی هفتم به جملهی سوم برابر است با:
\[ \frac{a \cdot r^6}{a \cdot r^2} = r^4 = \frac{40}{40} = 1 \]
این نشان میدهد که \( r \) میتواند 1 یا -1 باشد. در هر دو حالت، جمله اول که \( a \) است، برابر 40 خواهد بود.
2. **جمله چهارم دنبالهی \( b_n = 3n - 5 \) کدام جملهی دنبالهی \( a_n = n^2 - 5 \) برابر است؟**
- برای \( b_n \) جمله چهارم:
\[ b_4 = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7 \]
- اکنون باید \( n \) را بیابیم که:
\[ n^2 - 5 = 7 \]
\[ n^2 = 12 \]
\[ n = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]
این عدد معقول نیست چون باید عددی صحیح باشد، بنابراین نمیتوان جمله متناظر پیدا کرد.
3. **حاصل عبارتهای داده شده با اتحاد مجموعهها:**
- الف: \( (-2,5) \cap (3,6) \)
این دو بازه مشترکاتی ندارند، پس جواب برابر است با \( \emptyset \).
- ب: \( (3,+\infty) \cup [2,4) \)
این دو مجموعه با هم ترکیب شده و جواب \( (2,+\infty) \) میشود.
- ج: \( (-\infty,6] \cap (2,9) \)
اشتراک این دو مجموعه \( (2,6] \) است.
4. **چند نفر فقط روزنامه A را میخوانند؟**
کل افراد: \( 70 \)
کسانی که روزنامه A میخوانند: \( 46 \)
افرادی که هر دو روزنامه را میخوانند را \( x \) فرض میکنیم.
پس افرادی که فقط روزنامه A را میخوانند:
\[ 46 - x \]
کسانی که روزنامه B میخوانند: \( 27 \)
کسانی که هر دو را نمیخوانند: \( 12 \)
کل برابر با مجموع افرادی که یکی یا هر دو روزنامه را میخوانند:
\[ 70 = 46 + 27 - x + 12 \]
\[ 70 = 46 + 27 - x + 12 \]
با حل معادله به دنبال \( x \) بگردید.
5. **برای دنباله زیر یک الگوی هندسی رسم کنید:**
\( 30, 120, 480 \)
این دنباله به صورت ضرب در 4 تغییر میکند. الگوی هندسی میتواند شکلهایی در حال افزایش را نشان دهد، مثلاً مربعهایی که هر ضلع آنها به نسبت \( \sqrt{4} \) افزایش مییابد.
6. **تعداد مثلثهای رنگشده در الگو:**
شکل 1 دارای تعدادی مثلث سیاه و سفید است که با رسم دقیق و دیدن تعداد قابل شمارش است.
- (ب) کدام مجموعه نامتناهی است؟
3. اتمهای کره زمین
口诀：
حشرات ساکن زمین و درختان جنگلهای ایران همواره پایان پذیر باید باشند، اما اتمها بیپایان هستند.
