به سوالاتی که در تصویر آمده به صورت تشریحی پاسخ میدهیم:
۱. الف) اگر نقطه $(\frac{-1}{\sqrt{7}}, \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}})$ روی دایره مثلثاتی باشد، داریم:
\( \sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \)
۲. ب) اگر \( \sin \theta = \cos^2 \theta \) و \( \sin \theta > 0 \) و \( \cos \theta \tan \theta > 0 \) در ربع ............ است:
به دلیل مثبت بودن سینوس و کسینوس، زاویه در ربع اول است.
۳. پ) اگر \( (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \frac{1}{p} \) باشد \( \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{p} \):
با توجه به هویت مثلثاتی \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)، عبارت داده شده را حل میکنیم:
\( (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{p} \)
\( 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{p} \)
بنابراین: \( \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}(\frac{1}{p} - 1) \)
۴. ت) زاویه و خط $y = \sqrt{x} + b$ با جهت مثبت محور $x$ برابر ............ است:
زاویه بین خط و محور میتواند با استفاده از مشتق خط \( \sqrt{x} \) و محاسبات هندسی به دست آید.
۵. در شکل، مقابل طول AB را بیابید:
میتوان از قوانین مثلث و قضایای فیثاغورثی استفاده کرد.
۶. مساحت مثلث قائمالزاویه با وتر ۱۰ و در آن کسینوس یک زاویه حاده 0/8 است. مساحت مثلث را به دست آورید:
فرض کنید \( AC = 10 \) باشد. \( \cos \angle A = 0.8 \Rightarrow AB = 10 \times 0.8 = 8 \)
حال از فیثاغورث برای \( BC \) استفاده میکنیم:
\( BC = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6 \)
مساحت مثلث: \( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \)
۷. نسبتهای مثلثاتی زاویه به دست آمده را مشخص کنید:
براساس مثلث فرضی، میتوان نسبتهای مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت، و ...) را محاسبه کرد.
۸. حدود و حداکثر عبارت $3 - 2 \sin^2 x$ را به دست آورید:
بیشینه مقدار \( \sin^2 x \) برابر 1 و کمینه مقدار 0 است:
کمینه: \( 3 - 2 \times 1 = 1 \)
بیشینه: \( 3 - 2 \times 0 = 3 \)
لذا بازه \( [1, 3] \) است.
۹. تغییرات m را بیابید:
برای \( \sin \alpha = -\frac{rm}{r^2 + 1} \)، تغییرات m باید مشخص شود.
۱۰. زاویه و نسبتهای مثلثاتی:
باید با به دست آوردن روابط زاویهای و مثلثاتی مسئله را کامل کرد.
در صورت نیاز به توضیحات بیشتر یا سوال درباره بخش خاصی، لطفاً بگویید!
