به سوالاتی که در تصویر آمده به صورت تشریحی پاسخ می‌دهیم: ۱. الف) اگر نقطه $(\frac{-1}{\sqrt{7}}, \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}})$ روی دایره مثلثاتی باشد، داریم: \( \sin \theta = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \) ۲. ب) اگر \( \sin \theta = \cos^2 \theta \) و \( \sin \theta > 0 \) و \( \cos \theta \tan \theta > 0 \) در ربع ............ است: به دلیل مثبت بودن سینوس و کسینوس، زاویه در ربع اول است. ۳. پ) اگر \( (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \frac{1}{p} \) باشد \( \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{p} \): با توجه به هویت مثلثاتی \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)، عبارت داده شده را حل می‌کنیم: \( (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{p} \) \( 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{p} \) بنابراین: \( \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2}(\frac{1}{p} - 1) \) ۴. ت) زاویه و خط $y = \sqrt{x} + b$ با جهت مثبت محور $x$ برابر ............ است: زاویه بین خط و محور می‌تواند با استفاده از مشتق خط \( \sqrt{x} \) و محاسبات هندسی به دست آید. ۵. در شکل، مقابل طول AB را بیابید: می‌توان از قوانین مثلث و قضایای فیثاغورثی استفاده کرد. ۶. مساحت مثلث قائم‌الزاویه با وتر ۱۰ و در آن کسینوس یک زاویه حاده 0/8 است. مساحت مثلث را به دست آورید: فرض کنید \( AC = 10 \) باشد. \( \cos \angle A = 0.8 \Rightarrow AB = 10 \times 0.8 = 8 \) حال از فیثاغورث برای \( BC \) استفاده می‌کنیم: \( BC = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6 \) مساحت مثلث: \( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \) ۷. نسبت‌های مثلثاتی زاویه به دست آمده را مشخص کنید: براساس مثلث فرضی، می‌توان نسبت‌های مثلثاتی (سینوس، کسینوس، تانژانت، و ...) را محاسبه کرد. ۸. حدود و حداکثر عبارت $3 - 2 \sin^2 x$ را به دست آورید: بیشینه مقدار \( \sin^2 x \) برابر 1 و کمینه مقدار 0 است: کمینه: \( 3 - 2 \times 1 = 1 \) بیشینه: \( 3 - 2 \times 0 = 3 \) لذا بازه \( [1, 3] \) است. ۹. تغییرات m را بیابید: برای \( \sin \alpha = -\frac{rm}{r^2 + 1} \)، تغییرات m باید مشخص شود. ۱۰. زاویه و نسبت‌های مثلثاتی: باید با به دست آوردن روابط زاویه‌ای و مثلثاتی مسئله را کامل کرد. در صورت نیاز به توضیحات بیشتر یا سوال درباره بخش خاصی، لطفاً بگویید!