برای حل این سوال، ابتدا به فرمول کلی کسرها توجه میکنیم. فرض کنید ما کارتها را به صورت زیر قرار دهیم:
\[
\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}
\]
که در آن \(a\)، \(b\)، \(c\)، و \(d\) به ترتیب شمارههای کارتها هستند: ۱، ۲، ۳، و ۴. برای به دست آوردن معیار کمینهسازی حاصل ضرب این کسرها، ما میخواهیم مقدار:
\[
\frac{a \times c}{b \times d}
\]
را کمینه کنیم. بنابراین، برای کمینهسازی حاصلضرب کسرها، میتوانیم از اصول زیر استفاده کنیم:
- عکسالعمل در انتخابهای خردتر میتواند بر روی کسرها تأثیر بگذارد.
- باید به دنبال ترکیبی بود که یک عدد بزرگ را در صورت و یک عدد کوچک را در مخرج قرار دهیم تا حاصلضرب به حداقل برسد.
برای به دست آوردن کمترین حاصلضرب، میتوانیم ترکیبهای مختلف را امتحان کنیم. بیایید گزینههای مختلف را بررسی کنیم:
1. \(\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}\)
2. \(\frac{2}{4} \times \frac{1}{3}\)
3. \(\frac{3}{1} \times \frac{4}{2}\)
4. ...
اما مهمترین ترکیبها برای ما عبارتند از:
1. \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{4}\) = \(\frac{1 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{8}\)
2. \(\frac{1}{3} \times \frac{2}{4}\) = \(\frac{1 \times 2}{3 \times 4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\)
چندین ترکیب مختلف را بررسی کنید. با توجه به ترکیبها، نتیجه بهینه این است که کارتها به صورت زیر قرار گیرند:
\[
\frac{1}{4} \times \frac{2}{3} \quad \text{و یا} \quad \frac{1}{3} \times \frac{2}{4}
\]
بنابراین کمترین حاصلضرب کسر میتواند برابر با \(\frac{1}{6}\) یا \(\frac{3}{8}\) باشد.
در نتیجه، پاسخ به این سوال این است که برای حداقل کردن حاصل ضرب کسرها، کارتها را به صورت زیر قرار دهید:
- \(\frac{1}{4}\) و \(\frac{2}{3}\)
یا
- \(\frac{1}{3}\) و \(\frac{2}{4}\)
به این صورت حداقل حاصلضرب به دست میآید.
