اگر [x-1/3]+[x+2/3]=1باشد مجموعه جواب xچقدر است

برای حل معادله \([x - \frac{1}{3}] + [x + \frac{2}{3}] = 1\)، به تحلیل بخش صحیح (مقدار صحیح) اعداد می‌پردازیم. توجه داشته باشید که \([y]\) نشان‌دهنده بخش صحیح عدد \(y\) است. یعنی بیشترین عدد صحیحی که کمتر یا مساوی \(y\) است. اجازه دهید \(x\) را به صورت \(n + f\) بنویسیم که در آن \(n\) یک عدد صحیح و \(f\) قسمت اعشاری \(x\) است و \(0 \leq f < 1\). سپس داریم: \[ [x - \frac{1}{3}] = [n + f - \frac{1}{3}] = n + [f - \frac{1}{3}] \] و \[ [x + \frac{2}{3}] = [n + f + \frac{2}{3}] = n + [f + \frac{2}{3}] \] بنابراین معادله ما به صورت زیر در می‌آید: \[ n + [f - \frac{1}{3}] + n + [f + \frac{2}{3}] = 1 \] که به سادگی می‌توان نوشت: \[ 2n + [f - \frac{1}{3}] + [f + \frac{2}{3}] = 1 \] حالا باید حالت‌های مختلف برای \(f\) را بررسی کنیم. 1. **حالت اول**: \(0 \leq f < \frac{1}{3}\) - در این حالت: - \([f - \frac{1}{3}] = 0\) - \([f + \frac{2}{3}] = 0\) - بنابراین: \[ 2n + 0 + 0 = 1 \rightarrow 2n = 1 \rightarrow n = 0.5 \text{ (نادرست)} \] 2. **حالت دوم**: \(\frac{1}{3} \leq f < \frac{2}{3}\) - در این جا: - \([f - \frac{1}{3}] = 0\) - \([f + \frac{2}{3}] = 1\) - بنابراین: \[ 2n + 0 + 1 = 1 \rightarrow 2n = 0 \rightarrow n = 0 \] - پس در این حالت، \(x\) می‌شود: \[ x = n + f = 0 + f \Rightarrow \frac{1}{3} \leq f < \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{3} \] 3. **حالت سوم**: \(\frac{2}{3} \leq f < 1\) - در این حالت: - \([f - \frac{1}{3}] = 0\) - \([f + \frac{2}{3}] = 1\) - بنابراین: \[ 2n + 1 + 0 = 1 \rightarrow 2n = 0 \rightarrow n = 0 \] - در این حال نیز: \[ x = n + f = 0 + f \Rightarrow \frac{2}{3} \leq f < 1 \Rightarrow \frac{2}{3} \leq x < 1 \] در نهایت، بازه‌های بدست آمده را جمع‌بندی می‌کنیم: - از حالت دوم: \(\frac{1}{3} \leq x < \frac{2}{3}\) - از حالت سوم: \(\frac{2}{3} \leq x < 1\) جمع‌بندی نهایی: \[ \frac{1}{3} \leq x < 1 \] پس مجموعه جواب \(x\) به صورت زیر است: \[ \left[\frac{1}{3}, 1\right) \]