برای حل این سوال، ابتدا باید مشخصات دنباله حسابی را با استفاده از اطلاعات داده شده استخراج کنیم.
دنباله حسابی به شکل زیر تعریف می‌شود:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]
که در آن:
- \( a_n \) جمله nام دنباله است.
- \( a_1 \) جمله اول دنباله است.
- \( d \) تفاوت دنباله (مقدار ثابت که هر بار به جمله قبلی اضافه می‌شود) است.
از سوال مشخص است که:
- \( a_5 = 35 \)
- \( a_{12} = 56 \)
با استفاده از فرمول دنباله حسابی، این دو معادله را تشکیل می‌دهیم:
1. برای جمله پنجم:
\[
a_5 = a_1 + (5 - 1) \cdot d = a_1 + 4d = 35
\]
2. برای جمله دوازدهم:
\[
a_{12} = a_1 + (12 - 1) \cdot d = a_1 + 11d = 56
\]
حالا دو معادله داریم:
1. \( a_1 + 4d = 35 \) (معادله 1)
2. \( a_1 + 11d = 56 \) (معادله 2)
حالا از معادله 1 می‌توانیم \( a_1 \) را پیدا کنیم:
از معادله 1 نتیجه می‌گیریم:
\[
a_1 = 35 - 4d
\]
اکنون این مقدار را در معادله 2 قرار می‌دهیم:
\[
(35 - 4d) + 11d = 56
\]
ساده‌سازی می‌کنیم:
\[
35 + 7d = 56
\]
\[
7d = 56 - 35
\]
\[
7d = 21
\]
\[
d = 3
\]
حال که \( d \) را به دست آورده‌ایم، آن را به معادله 1 برمی‌گردانیم تا \( a_1 \) را پیدا کنیم:
\[
a_1 + 4 \cdot 3 = 35
\]
\[
a_1 + 12 = 35
\]
\[
a_1 = 35 - 12
\]
\[
a_1 = 23
\]
بنابراین، ما \( a_1 = 23 \) و \( d = 3 \) را داریم.
حالا جمله عمومی دنباله را می‌نویسیم:
\[
a_n = 23 + (n - 1) \cdot 3
\]
اگر این را کمی ساده کنیم، خواهیم داشت:
\[
a_n = 23 + 3n - 3 = 3n + 20
\]
پس جمله عمومی دنباله حسابی برابر است با:
\[
\boxed{3n + 20}
\]
