برای اثبات این مسئله که "هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر پاره خط به یک فاصله است"، میتوانیم از تعریف عمود منصف و خاصیت مثلثهای متساویالساقین استفاده کنیم.
فرض کنید \(A\) و \(B\) دو سر پاره خط \(AB\) باشند و \(M\) نقطهای روی عمود منصف \(AB\) باشد.
ویژگیهای عمود منصف:
1. عمود منصف دقیقاً در وسط پاره خط و به صورت عمود بر آن قرار میگیرد.
2. تمام نقاط روی عمود منصف از دو سر پاره خط به یک فاصله هستند.
اثبات:
- از نقطه \(M\) خطوطی به \(A\) و \(B\) رسم میکنیم. ما دو مثلث \( \triangle AMB \) و \( \triangle BMA \) داریم.
- چون \(M\) روی عمود منصف است:
- داریم \(AM = BM\).
- همچنین، زاویههای \( \angle AMB \) و \( \angle BMA \) برابرند.
این ویژگیها نشان میدهند که مثلثهای \( \triangle AMB \) و \( \triangle BMA \) متساویالساقین هستند و \(M\) از \(A\) و \(B\) به یک فاصله است.
بنابراین اثبات شد که هر نقطه روی عمود منصف یک پاره خط از دو سر پاره خط به یک فاصله است.