برای حل این مسئله، باید تعداد واسطههای هندسی بین دو عدد \( \frac{5}{27} \) و 135 را با نسبت توان 3 پیدا کنیم.
فرض کنیم این تعداد واسطهها \( n \) باشد. در این صورت، دنباله هندسی با جمله اول \( a_1 = \frac{5}{27} \) و جمله آخر \( a_{n+2} = 135 \) به این ترتیب داریم:
\[ a_{n+2} = a_1 \times r^{n+1} \]
که \( r \) نسبت مشترک است. طبق داده مسئله، نسبت مشترک توان 3 است:
\[ r = 3^k \]
با قرار دادن مقادیر در رابطه بالا:
\[ 135 = \frac{5}{27} \times (3^k)^{n+1} \]
\[ 135 = \frac{5}{27} \times 3^{k(n+1)} \]
ابتدا هر دو طرف معادله را در 27/5 ضرب میکنیم تا \( 3^{k(n+1)} \) را تنها بگذاریم:
\[ \frac{135 \times 27}{5} = 3^{k(n+1)} \]
\[ 729 = 3^{k(n+1)} \]
چون \( 729 = 3^6 \)، داریم:
\[ 3^{k(n+1)} = 3^6 \]
بنابراین:
\[ k(n+1) = 6 \]
حال اگر \( k = 1 \) باشد:
\[ n+1 = 6 \rightarrow n = 5 \]
بنابراین، 5 واسطه هندسی وجود دارد که با نسبت توان 3 بین این دو عدد قرار میگیرند.
