برای یافتن حاصلضرب بیست جمله اول دنبالهی \( a_n = 3 \times 2^{n-1} \)، ابتدا بیست جملهی اول دنباله را محاسبه میکنیم:
1. جمله اول: \( a_1 = 3 \times 2^{1-1} = 3 \times 2^0 = 3 \)
2. جمله دوم: \( a_2 = 3 \times 2^{2-1} = 3 \times 2^1 = 6 \)
3. جمله سوم: \( a_3 = 3 \times 2^{3-1} = 3 \times 2^2 = 12 \)
4. جمله چهارم: \( a_4 = 3 \times 2^{4-1} = 3 \times 2^3 = 24 \)
5. جمله پنجم: \( a_5 = 3 \times 2^{5-1} = 3 \times 2^4 = 48 \)
6. جمله ششم: \( a_6 = 3 \times 2^{6-1} = 3 \times 2^5 = 96 \)
7. جمله هفتم: \( a_7 = 3 \times 2^{7-1} = 3 \times 2^6 = 192 \)
8. جمله هشتم: \( a_8 = 3 \times 2^{8-1} = 3 \times 2^7 = 384 \)
9. جمله نهم: \( a_9 = 3 \times 2^{9-1} = 3 \times 2^8 = 768 \)
10. جمله دهم: \( a_{10} = 3 \times 2^{10-1} = 3 \times 2^9 = 1536 \)
11. جمله یازدهم: \( a_{11} = 3 \times 2^{11-1} = 3 \times 2^{10} = 3072 \)
12. جمله دوازدهم: \( a_{12} = 3 \times 2^{12-1} = 3 \times 2^{11} = 6144 \)
13. جمله سیزدهم: \( a_{13} = 3 \times 2^{13-1} = 3 \times 2^{12} = 12288 \)
14. جمله چهاردهم: \( a_{14} = 3 \times 2^{14-1} = 3 \times 2^{13} = 24576 \)
15. جمله پانزدهم: \( a_{15} = 3 \times 2^{15-1} = 3 \times 2^{14} = 49152 \)
16. جمله شانزدهم: \( a_{16} = 3 \times 2^{16-1} = 3 \times 2^{15} = 98304 \)
17. جمله هفدهم: \( a_{17} = 3 \times 2^{17-1} = 3 \times 2^{16} = 196608 \)
18. جمله هجدهم: \( a_{18} = 3 \times 2^{18-1} = 3 \times 2^{17} = 393216 \)
19. جمله نوزدهم: \( a_{19} = 3 \times 2^{19-1} = 3 \times 2^{18} = 786432 \)
20. جمله بیستم: \( a_{20} = 3 \times 2^{20-1} = 3 \times 2^{19} = 1572864 \)
حالا، میخواهیم حاصلضرب بیست جملهی اول را محاسبه کنیم:
\[
P = a_1 \times a_2 \times a_3 \times \cdots \times a_{20} = 3^{20} \times (2^0 \times 2^1 \times 2^2 \times \cdots \times 2^{19})
\]
برای \( 2^0 \times 2^1 \times 2^2 \times \cdots \times 2^{19} \) داریم:
\[
2^0 \times 2^1 \times 2^2 \times \cdots \times 2^{19} = 2^{0+1+2+\cdots+19}
\]
جمع اعداد 0 تا 19 برابر است با \( \frac{19 \times 20}{2} = 190 \):
\[
P = 3^{20} \times 2^{190}
\]
در نهایت، حاصلضرب بیست جمله اول دنباله به صورت زیر است:
\[
P = 3^{20} \times 2^{190}
\]
