برای حل این سوال، از آنجایی که ما با یک دنباله هندسی سر و کار داریم، ابتدا باید فرمول عمومی دنباله هندسی را یادآوری کنیم.
در یک دنباله هندسی، جمله \( n \)ام به صورت زیر محاسبه می‌شود:
\[
a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}
\]
که در آن:
- \( a_n \) جمله \( n \)ام است،
- \( a_1 \) جمله اول است،
- \( r \) قدر نسبت (یا نسبت دنباله) است.
بر اساس اطلاعات داده شده:
- جمله هفتم \( a_7 = 135 \)
- جمله چهارم \( a_4 = 5 \)
طبق فرمول بالا، می‌توانیم بنویسیم:
1. برای جمله هفتم:
\[
a_7 = a_1 \cdot r^{6} = 135 \quad \text{(معادله 1)}
\]
2. برای جمله چهارم:
\[
a_4 = a_1 \cdot r^{3} = 5 \quad \text{(معادله 2)}
\]
حالا ما دو معادله داریم که می‌توانیم آن‌ها را نسبت به هم حل کنیم. از معادله 1، می‌توانیم \( a_1 \) را بر حسب \( r \) پیدا کنیم:
از معادله 2:
\[
a_1 = \frac{5}{r^{3}} \quad \text{(از معادله 2)}
\]
حالا این مقدار \( a_1 \) را در معادله 1 جایگزین میکنیم:
\[
\frac{5}{r^{3}} \cdot r^{6} = 135
\]
\[
5r^{3} = 135
\]
\[
r^{3} = \frac{135}{5} = 27
\]
\[
r = \sqrt[3]{27} = 3
\]
اکنون که مقدار \( r \) را پیدا کردیم، می‌توانیم آن را در معادله 2 بگذاریم تا \( a_1 \) را پیدا کنیم:
\[
a_1 = \frac{5}{3^{3}} = \frac{5}{27}
\]
در نهایت، جواب نهایی ما:
- قدر نسبت \( r = 3 \)
- جمله اول \( a_1 = \frac{5}{27} \)
پس نتایج نهایی به شکل زیر است:
- قدر نسبت: 3
- جمله اول: \( \frac{5}{27} \)
