برای حل سوال، داریم:
جمله عمومی یک دنباله به صورت \( t_n = \frac{3n + 1}{4n + 2} \)
الف) عبارت هفتم:
برای محاسبه جمله هشتم، کافی است \( n = 8 \) را در فرمول جمله عمومی جایگذاری کنیم:
\[ t_8 = \frac{3(8) + 1}{4(8) + 2} = \frac{24 + 1}{32 + 2} = \frac{25}{34} \]
پس عبارت هشتم برابر است با \( \frac{25}{34} \).
ب) برای اینکه جمله چندم این دنباله برابر دو سوم است، معادله زیر را حل میکنیم:
\[ \frac{3n + 1}{4n + 2} = \frac{2}{3} \]
با ضرب طرفین در وسطین:
\[ 3(3n + 1) = 2(4n + 2) \]
\[ 9n + 3 = 8n + 4 \]
\[ 9n - 8n = 4 - 3 \]
\[ n = 1 \]
پس جمله اول این دنباله برابر دو سوم است.
