برای حل این مسئله، ابتدا باید قدرمطلق صورت کسر \( |x^2 + 4x - 21| \) را محاسبه کنیم و سپس با توجه به شرایط داده شده، مقدار آن را بدون قدرمطلق به دست آوریم.
ابتدا دو عددی که در عبارت زیر ریشههای صورت معادله هستند را پیدا میکنیم:
\( x^2 + 4x - 21 = 0 \)
با استفاده از فرمول کلی معادلات درجه دوم:
\( a = 1, \, b = 4, \, c = -21 \)
فرمول ریشهها:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
حساب میکنیم:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} \]
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} \]
\[ x = \frac{-4 \pm 10}{2} \]
\[ x = 3 \quad \text{یا} \quad x = -7 \]
حالا میدانیم که نقطهها \( x = 3 \) و \( x = -7 \) نقاطی هستند که در آنها عبارت داخل قدرمطلق صفر میشود.
بر اساس بازه داده شده \( x \in (-7, 3) \)، عبارت \( x^2 + 4x - 21 \) برای مقادیر \( x \) در این بازه منفی است، بنابراین:
\[ |x^2 + 4x - 21| = -(x^2 + 4x - 21) \]
پس کسر به صورت زیر ساده میشود:
\[ \frac{|x^2 + 4x - 21|}{x - 3} = \frac{-(x^2 + 4x - 21)}{x - 3} \]
برای محاسبه، تقسیم صورت به مخرج را انجام میدهیم:
اول تقسیم با استفاده از روش تجزیه یا تقسیم چندجملهایها:
\( x^2 + 4x - 21 \) را بر \( (x - 3) \) تقسیم میکنیم که حاصل به صورت زیر خواهد بود:
تقسیم به صورت استاندارد چندجملهای:
1. \( x^2 \div x = x \)
2. \( x \cdot (x - 3) = x^2 - 3x \)
3. تفریق میکنیم: \( (x^2 + 4x - 21) - (x^2 - 3x) = 7x - 21 \)
4. \( 7x \div x = 7 \)
5. \( 7 \cdot (x - 3) = 7x - 21 \)
6. تفریق میکنیم: \( (7x - 21) - (7x - 21) = 0 \)
پس خارجقسمت \( x + 7 \) است. بنابراین:
\(- (x + 7) = -x - 7\)
یعنی:
\[ \frac{|x^2 + 4x - 21|}{x - 3} = -x - 7 \]
پاسخ نهایی: \(-x - 7\)
