برای حل این سوال، مراحل زیر را طی میکنیم:
مسئله به ما داده است که \( xy = 9 \) و \((x > 0 ، y > 0)\). و باید مقدار عبارتی به شکل زیر را ساده کنیم:
\[
\frac{y\sqrt{x} + x\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}
\]
1. ابتدا صورت و مخرج کسر را بررسی میکنیم. \( y\sqrt{x} + x\sqrt{y} \) و \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) را داریم.
2. حال میتوانیم \( x = 9/y \) را جایگذاری کنیم چون \( xy = 9 \):
در صورت:
\[
y\sqrt{x} + x\sqrt{y} = y\sqrt{\frac{9}{y}} + \frac{9}{y}\sqrt{y}
\]
3. حال سعی میکنیم عبارات را ساده کنیم:
\[
= y \cdot \frac{3}{\sqrt{y}} + 9 \cdot \frac{1}{\sqrt{y}}
\]
\[
= 3y/\sqrt{y} + 9/\sqrt{y}
\]
\[
= \frac{3y + 9}{\sqrt{y}}
\]
4. در مخرج هم:
\[
\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{\frac{9}{y}} + \sqrt{y}
\]
\[
= \frac{3}{\sqrt{y}} + \sqrt{y}
\]
5. حالا صورت را بر مخرج تقسیم کنید:
\[
\frac{\frac{3y + 9}{\sqrt{y}}}{\frac{3}{\sqrt{y}} + \sqrt{y}} = \frac{3y + 9}{3 + y}
\]
6. حال میدانیم که \( y = 3 \) و \( x = 3 \) میتواند یکی از مقادیر ممکن باشد پس میگذاریم:
\[
\frac{3(3) + 9}{3 + 3} = \frac{18}{6} = 3
\]
در نتیجه، جواب نهایی این کسری برابر ۳ است.
