در جعبه ای ۵ مهره سفید و ۳ مهره سیاه وجود دارد از این جعبه ۳ مهره به تصادف خارج میکنیم مطلوب احتمال اینکه دقیقا دو مهره همرنگ باشد؟

برای حل این سوال، از قواعد احتمال و ترکیب استفاده می‌کنیم. 1. **تعیین کل مهره‌ها و تعداد مورد نظر**: - تعداد کل مهره‌ها = ۵ مهره سفید + ۳ مهره سیاه = ۸ مهره - ما ۳ مهره از این ۸ مهره به طور تصادفی انتخاب می‌کنیم. 2. **احتمال حالت‌های مطلوب**: - حالت مطلوب ما این است که دقیقا ۲ مهره همرنگ (سفید یا سیاه) داشته باشیم و ۱ مهره از رنگ دیگر باشد. حالت‌ها: 1. **دو مهره سفید و یک مهره سیاه** 2. **دو مهره سیاه و یک مهره سفید** برای محاسبه احتمال به مراحل زیر می‌پردازیم: ### 1. محاسبه تعداد حالت‌های ممکن: تعداد کل حالت‌ها برای انتخاب ۳ مهره از ۸ مهره: \[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \] ### 2. حالت اول: دو مهره سفید و یک مهره سیاه تعداد حالت‌ها برای انتخاب ۲ مهره سفید از ۵ مهره سفید و ۱ مهره سیاه از ۳ مهره سیاه: \[ C(5, 2) \times C(3, 1) = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{3}{1} = 10 \times 3 = 30 \] ### 3. حالت دوم: دو مهره سیاه و یک مهره سفید تعداد حالت‌ها برای انتخاب ۲ مهره سیاه از ۳ مهره سیاه و ۱ مهره سفید از ۵ مهره سفید: \[ C(3, 2) \times C(5, 1) = \frac{3!}{2!(3-2)!} \times \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{3}{1} \times 5 = 3 \times 5 = 15 \] ### 4. مجموع حالت‌های مطلوب حالت‌های مطلوب: \[ 30 \text{ (دو مهره سفید و یک مهره سیاه)} + 15 \text{ (دو مهره سیاه و یک مهره سفید)} = 45 \] ### 5. محاسبه احتمال سرانجام، احتمال اینکه دقیقا ۲ مهره همرنگ باشد: \[ P = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد حالت‌های ممکن}} = \frac{45}{56} \] ### نتیجه‌گیری احتمال اینکه دقیقا ۲ مهره همرنگ باشند برابر است با: \[ \frac{45}{56} \] این احتمال می‌تواند به عنوان یک عدد کسری یا به صورت اعشاری نیز بیان شود (حدود 0.8036) اما نگه داشتن آن در قالب کسری دقیق‌تر است.