برای اثبات اینکه در هر متوازیالأضلاع قطرها یکدیگر را نصف میکنند، به این صورت عمل میکنیم:
فرض کنید \(ABCD\) یک متوازیالأضلاع باشد و \(O\) نقطهٔ تقاطع قطرها باشد.
1. از تعریف متوازیالأضلاع میدانیم که ضلعهای مقابل با هم برابرند، یعنی:
\[
AB = CD \quad \text{و} \quad AD = BC
\]
2. مثلثهای \(AOD\) و \(COB\) را در نظر بگیرید. در این مثلثها:
- \(AD = BC\) به دلیل اینکه ضلعهای متقابل متوازیالأضلاع برابرند.
- زاویهٔ \(AOD = COB\) زیرا زاویههای متقابل برابرند.
- \(AO = OC\) به دلیل اینکه قطرها یکدیگر را نصف میکنند.
3. طبق قضیهٔ همنهشتی زاویه-ضلع-زاویه (ASA)، میتوان نتیجه گرفت که:
\[
\triangle AOD \cong \triangle COB
\]
4. بنابراین، از همنهشتی مثلثها نتیجه میگیریم که:
\[
OD = OB
\]
بنابراین ثابت کردیم که قطرها در متوازیالأضلاع یکدیگر را نصف میکنند.
