برای حل این سوال، ابتدا باید یادآوری کنیم که در یک لوزی، طول قطرها و طول اضلاع با هم مرتبط هستند. در یک لوزی، دو قطر به یکدیگر عمود هستند و هر کدام نصف طول لوزی را در دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می‌کنند.
در لوزی، اگر طول ضلع \( x \) باشد و طول یک قطر \( d_1 \) (که در این سوال قطر کوچک است) باشد، رابطه زیر برقرار است:
\[
d_1 = 2 \sqrt{x^2 - \left(\frac{d_2}{2}\right)^2}
\]
که در آن \( d_2 \) طول قطر بزرگ است.
در این سوال، قطر کوچک \( d_1 = 8 \) ذکر شده است. از آنجا که قطرها به هم عمود هستند، می‌توانیم از رابطه زیر برای قطر کوچک استفاده کنیم:
\[
d_1^2 + d_2^2 = 4x^2
\]
با جایگذاری \( d_1 = 8 \):
\[
8^2 + d_2^2 = 4x^2
\]
این معادله را ساده می‌کنیم:
\[
64 + d_2^2 = 4x^2
\]
حال، چون \( d_2^2 \) نمی‌تواند منفی باشد، برای پیدا کردن بازه‌ی ممکن برای \( x \) باید بررسی کنیم که چه مقادیری از \( d_2^2 \) وجود دارد تا \( 4x^2 \) غیر منفی باشد:
\[
d_2^2 = 4x^2 - 64
\]
برای اینکه \( d_2^2 \) غیر منفی باشد:
\[
4x^2 - 64 \geq 0
\]
حال این نابرابری را حل می‌کنیم:
\[
4x^2 \geq 64
\]
\[
x^2 \geq 16
\]
\[
x \geq 4 \quad \text{یا} \quad x \leq -4
\]
چون \( x \) طول ضلع لوزی است، باید تنها مقادیر مثبت را در نظر بگیریم:
\[
x \geq 4
\]
بنابراین بازه‌ی جواب‌های ممکن برای \( x \) به صورت زیر خواهد بود:
\[
[4, \infty)
\]
در نتیجه، پاسخ نهایی برای \( x \) برابر با بازه \( [4, \infty) \) است.
