با طول ضلع x و قطر کوچک ۸ یک لوزی رسم کرده ایم. بازه جواب های ممکن برای x را بیابید.

برای حل این سوال، ابتدا باید یادآوری کنیم که در یک لوزی، طول قطرها و طول اضلاع با هم مرتبط هستند. در یک لوزی، دو قطر به یکدیگر عمود هستند و هر کدام نصف طول لوزی را در دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می‌کنند. در لوزی، اگر طول ضلع \( x \) باشد و طول یک قطر \( d_1 \) (که در این سوال قطر کوچک است) باشد، رابطه زیر برقرار است: \[ d_1 = 2 \sqrt{x^2 - \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} \] که در آن \( d_2 \) طول قطر بزرگ است. در این سوال، قطر کوچک \( d_1 = 8 \) ذکر شده است. از آنجا که قطرها به هم عمود هستند، می‌توانیم از رابطه زیر برای قطر کوچک استفاده کنیم: \[ d_1^2 + d_2^2 = 4x^2 \] با جایگذاری \( d_1 = 8 \): \[ 8^2 + d_2^2 = 4x^2 \] این معادله را ساده می‌کنیم: \[ 64 + d_2^2 = 4x^2 \] حال، چون \( d_2^2 \) نمی‌تواند منفی باشد، برای پیدا کردن بازه‌ی ممکن برای \( x \) باید بررسی کنیم که چه مقادیری از \( d_2^2 \) وجود دارد تا \( 4x^2 \) غیر منفی باشد: \[ d_2^2 = 4x^2 - 64 \] برای اینکه \( d_2^2 \) غیر منفی باشد: \[ 4x^2 - 64 \geq 0 \] حال این نابرابری را حل می‌کنیم: \[ 4x^2 \geq 64 \] \[ x^2 \geq 16 \] \[ x \geq 4 \quad \text{یا} \quad x \leq -4 \] چون \( x \) طول ضلع لوزی است، باید تنها مقادیر مثبت را در نظر بگیریم: \[ x \geq 4 \] بنابراین بازه‌ی جواب‌های ممکن برای \( x \) به صورت زیر خواهد بود: \[ [4, \infty) \] در نتیجه، پاسخ نهایی برای \( x \) برابر با بازه \( [4, \infty) \) است.