برای حل این عبارت، به سادگی از تکنیک تلسکوپی استفاده میکنیم.
عبارت داده شده به صورت زیر است:
\[
\frac{1}{a(a+1)} + \frac{1}{(a+1)(a+2)} + \ldots + \frac{1}{(a+99)(a+100)}
\]
ابتدا هر کسر را به صورت تفاضل دو کسر سادهتر مینویسیم:
\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]
پس هر جملهی این سری به صورت زیر تبدیل میشود:
\[
\frac{1}{a} - \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+1} - \frac{1}{a+2} + \ldots + \frac{1}{a+99} - \frac{1}{a+100}
\]
در اینجا تمام جزئیات غیر از اولین و آخرین جمله حذف میشوند و سری به صورت زیر ساده میشود:
\[
\frac{1}{a} - \frac{1}{a+100}
\]
که این حاصل عبارت فوق است.
