برای پیدا کردن مدت زمان لازم برای رنگ کردن اتاق توسط استاد و شاگرد به صورت مشترک، ابتدا باید میزان کار هر کدام را در روز محاسبه کنیم.
1. **کار استاد در یک روز**:
استاد میتواند اتاق را در ۸ روز رنگ کند، بنابراین در هر روز \(\frac{1}{8}\) از اتاق را رنگ میکند.
2. **کار شاگرد در یک روز**:
شاگرد میتواند اتاق را در ۱۲ روز رنگ کند، بنابراین در هر روز \(\frac{1}{12}\) از اتاق را رنگ میکند.
3. **میزان کار هر دو نفر در یک روز**:
حالا اگر هر دو با هم کار کنند، میزان کار آنها در یک روز را باید جمع کنیم:
\[
\text{کار کل در یک روز} = \frac{1}{8} + \frac{1}{12}
\]
برای جمع کردن این دو کسر ابتدا باید کمّیت مشترک پیدا کنیم. کمّیت مشترک بین ۸ و ۱۲ برابر با 24 است.
\[
\frac{1}{8} = \frac{3}{24} \quad \text{و} \quad \frac{1}{12} = \frac{2}{24}
\]
بنابراین:
\[
\frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{5}{24}
\]
4. **پیدا کردن زمان کلی**:
اکنون ما میدانیم که هر دو نفر با هم \(\frac{5}{24}\) از اتاق را در یک روز رنگ میکنند. اکنون برای پیدا کردن اینکه آنها چه مدت زمانی طول میکشد تا کل اتاق را رنگ کنند، باید معکوس این کسر را بگیرید:
\[
\text{زمان لازم} = \frac{1}{\frac{5}{24}} = \frac{24}{5} \text{ روز} = 4.8 \text{ روز}
\]
بنابراین، اگر استاد و شاگرد هر دو با هم کار کنند، اتاق را در **۴.۸ روز** رنگ میکنند.
