چند تا از شمارنده های عدد ۳۶۰ بر ۵ بخش پذیر است؟

برای اینکه بفهمیم چند تا از شمارنده‌های عدد ۳۶۰ بر ۵ بخش‌پذیر هستند، ابتدا باید شمارنده‌های عدد ۳۶۰ را پیدا کنیم. قدم اول: تجزیه عدد ۳۶۰ به عوامل اول عدد ۳۶۰ را می‌توان به صورت زیر تجزیه کرد: \[ 360 = 36 \times 10 = 6^2 \times 10 = (2 \times 3)^2 \times (2 \times 5) \] حالا خواهیم دید که ۳۶۰ چگونه به عوامل اول تجزیه می‌شود: \[ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \] قدم دوم: تعداد شمارنده‌های عدد ۳۶۰ برای پیدا کردن تعداد شمارنده‌ها، باید از فرمول زیر استفاده کنیم که برای عدد \( n = p_1^{k_1} \times p_2^{k_2} \times \dots \times p_m^{k_m} \) تعداد شمارنده‌ها به صورت زیر محاسبه می‌شود: \[ (k_1 + 1)(k_2 + 1) \dots (k_m + 1) \] در اینجا، \( k_1, k_2, k_3 \) به ترتیب برابر با ۳، ۲ و ۱ هستند. بنابراین: \[ (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24 \] پس عدد ۳۶۰ دارای ۲۴ شمارنده است. قدم سوم: شمارنده‌های عدد ۳۶۰ که بر ۵ بخش‌پذیرند برای اینکه شمارنده‌ای از عدد ۳۶۰ بر ۵ بخش‌پذیر باشد، باید شامل عامل ۵ باشد. بنابراین، به این شکل می‌توانیم عامل ۵ را در نظر بگیریم و تجزیه را دوباره انجام دهیم: \[ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \] شمارنده‌هایی که بر ۵ بخش‌پذیرند، به شکل \( 5^1 \) همراه با هر ترکیبی از عوامل دیگر است: \[ 2^a \times 3^b \times 5^1 \] که در آن \( a \) می‌تواند ۰ تا ۳ و \( b \) می‌تواند ۰ تا ۲ باشد. بنابراین: - برای \( a \): ۴ گزینه (۰، ۱، ۲، ۳) - برای \( b \): ۳ گزینه (۰، ۱، ۲) پس تعداد شمارنده‌هایی که بر ۵ بخش‌پذیرند برابر است با: \[ 4 \times 3 = 12 \] در نتیجه، پاسخ نهایی این است که **۱۲ تا از شمارنده‌های عدد ۳۶۰ بر ۵ بخش‌پذیر هستند.**