در این سوال، نقطه \( M \) خارج از دایره قرار دارد و از این نقطه دو مماس \( MA \) و \( MB \) بر دایره رسم شدهاند. لازم است اثبات کنیم که طول این دو مماس با هم برابر است.
به طور کلی، در هندسه وقتی از یک نقطه خارج از دایره دو خط مماس به آن دایره رسم میشوند، طول این دو خط مماس با هم برابر خواهند بود. اثبات این موضوع بهصورت زیر است:
1. از نقطه \( M \) دو مماس \( MA \) و \( MB \) به دایره کشیده شده است.
2. دایره با مرکز \( O \) را در نظر بگیرید.
3. با توجه به اینکه هر دو خط \( MA \) و \( MB \) مماس بر دایره هستند، باید زوایای مابین این خطوط و شعاعهای دایره در نقاط تماس (یعنی \( OA \) و \( OB \)) قائم باشد. پس \( \angle OAM = \angle OBM = 90^\circ \).
4. در نتیجه دو مثلث قائم الزاویه \( \triangle OMA \) و \( \triangle OMB \) داریم که دو ضلع قائم اشتراکی یعنی \( OM \) دارند.
5. دو ضلع دیگر یعنی \( OA = OB \) برابر میباشند.
بنابراین، مثلثهای \( \triangle OMA \) و \( \triangle OMB \) با استفاده از خطوط \( AO \) و \( BO \) و زاویه \( \angle OAM \) و \( \angle OBM \) که هر دو قائمه هستند، همنهشت میباشند.
در نتیجه، طول \( MA \) برابر با طول \( MB \) است.
