برای حل این مسئله، ابتدا باید مفهوم دنباله هندسی و محاسبه محیط و مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع را مرور کنیم. فرض کنیم طول ضلع اولین مثلث \( a \) باشد. پس محیط این مثلث \( 3a \) خواهد بود. در دنباله هندسی، هر جمله برابر جمله قبلی ضرب در یک مقدار ثابت به نام نسبت مشترک \( r \) است. بنابراین: - محیط مثلث اول: \( 3a \) - محیط مثلث دوم: \( 3ar \) - محیط مثلث سوم: \( 3ar^2 \) مجموعه محیط‌ها یک دنباله هندسی با قدر نسبت \( r \) و اولین جمله \( 3a \) است. حال، مساحت مثلث متساوی‌الاضلاع با طول ضلع \( a \)، برابر است با: \[ A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] برای مثلث دوم و سوم: - مساحت مثلث دوم: \(\frac{\sqrt{3}}{4}(ar)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2r^2\) - مساحت مثلث سوم: \(\frac{\sqrt{3}}{4}(ar^2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2r^4\) مجموعه مساحت‌ها نیز یک دنباله هندسی است با قدر نسبت \( r^2 \). با توجه به اینکه گفته شده قدر نسبت مساحت‌ها برابر ۹ است، داریم: \[ r^2 = 9 \] \[ r = \sqrt{9} = 3 \] بنابراین، قدر نسبت محیط‌ها \( r = 3 \) است و عدد \( q \) برابر ۳ است. پاسخ صحیح گزینه 3 است.