برای تجزیه عبارت \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \) از روش تقسیم چندجمله‌ای یا آزمون ریشه‌ها استفاده می‌کنیم. در ابتدا، از روش آزمون ریشه‌ها برای پیدا کردن ریشه‌های صحیح شروع می‌کنیم.
### مرحله 1: آزمون ریشه‌ها
طبق قضیه باقی‌مانده، ریشه‌های ممکن را می‌توان از عوامل جمله ثابت، یعنی عدد 1، تعیین کرد. بنابراین ریشه‌های ممکن عبارتند از: \( \pm 1 \).
ابتدا \( x = -1 \) را در عبارت قرار می‌دهیم:
\[
(-1)^3 + 2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -1 + 2 - 2 + 1 = 0
\]
پس \( x = -1 \) یکی از ریشه‌هاست.
### مرحله 2: تقسیم چندجمله‌ای
چون \( x = -1 \) ریشه است، پس \( x + 1 \) یکی از عوامل چندجمله‌ای است. حالا باید \( x^3 + 2x^2 + 2x + 1 \) را بر \( x + 1 \) تقسیم کنیم:
1. تقسیم اول: \( x^3 \div x = x^2 \)
\[
x^3 + x^2
\]
نتیجه کسر: \( x^3 + 2x^2 - (x^3 + x^2) = x^2 \)
2. تقسیم دوم: \( x^2 \div x = x \)
\[
x^2 + x
\]
نتیجه کسر: \( x^2 + 2x - (x^2 + x) = x \)
3. تقسیم سوم: \( x \div x = 1 \)
\[
x + 1
\]
نتیجه کسر: \( x + 1 - (x + 1) = 0 \)
بنابراین چندجمله‌ای اصلی برابر با:
\[
(x + 1)(x^2 + x + 1)
\]
### مرحله 3: بررسی بیشتر
عبارت \( x^2 + x + 1 \) به‌راحتی فاکتور نمی‌شود و هیچ ریشه حقیقی ندارد. بنابراین، عبارت تجزیه‌شده به صورت نهایی خواهد بود:
\[
(x + 1)(x^2 + x + 1)
\]
بنابراین، این عبارت تا جای ممکن تجزیه‌شده است.
