اثبات این هویت مثلثاتی به صورت زیر است:
ابتدا از اتحاد جبری a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²) استفاده میکنیم:
cos⁴x - sin⁴x = (cos²x - sin²x)(cos²x + sin²x)
ما میدانیم که cos²x + sin²x = 1 (این یک اتحاد مثلثاتی اساسی است). بنابراین:
cos⁴x - sin⁴x = (cos²x - sin²x)(1) = cos²x - sin²x
حال از اتحاد cos²x + sin²x = 1، داریم sin²x = 1 - cos²x. این را جایگزین میکنیم:
cos²x - sin²x = cos²x - (1 - cos²x) = cos²x - 1 + cos²x = 2cos²x - 1
بنابراین ثابت شد که:
cos⁴x - sin⁴x = 2cos²x - 1
