برای حل این سوال، عبارتهای مثلثاتی داخل کسرها را ساده میکنیم.
عبارت اول در کسر: \((\cos \alpha + \sin \alpha)^{5}\)
عبارت دوم در مخرج کسر: \(1 + \tan^5 \alpha\)
مخرج بسط دادهشده تا قسمت اخیر: \(\frac{1}{\cos(\alpha)^5}\)
ابتدا، مخرج کسر را ساده کنیم:
\[
1 + \tan^5 \alpha = 1 + \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)^5 = \frac{\cos^5 \alpha + \sin^5 \alpha}{\cos^5 \alpha}
\]
حال، عبارت را تقسیم بر مخرج میکنیم:
\[
\frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^{5}}{\frac{\cos^5 \alpha + \sin^5 \alpha}{\cos^5 \alpha}} \times \cos^5 \alpha = (\cos \alpha + \sin \alpha)^5 \times \frac{\cos^5 \alpha}{(\cos^5 \alpha + \sin^5 \alpha)}
\]
عبارت حاصل سادهتر نمیشود و به همین فرم باقی میماند.
