برای حل این سوال، ابتدا تابع \( f(x) = x^3 + 2x - 1 \) را داریم و باید ریشه‌های این تابع را در بازه \([-10, 0]\) پیدا کنیم.
### بررسی تابع:
تابع \( f(x) \) به صورت زیر تعریف شده است:
\[ f(x) = x^3 + 2x - 1 \]
### استفاده از روش بسط:
می‌توانیم با آزمایش چند مقدار از این تابع در داخل بازه داده‌شده، نقاطی را پیدا کنیم که تابع از صفر عبور می‌کند و به ریشه نزدیک است.
#### گام‌های حل:
1. **آزمایش چند مقدار:**
- \( f(-1) = (-1)^3 + 2(-1) - 1 = -1 - 2 - 1 = -4 \)
- \( f(0) = 0^3 + 2(0) - 1 = -1 \)
تابع در بازه \([-1, 0]\) تغییر علامت می‌دهد و بنابراین در این بازه حداقل یک ریشه وجود دارد.
2. **روش نصف کردن:**
- می‌توانیم از روش نصف کردن برای یافتن دقیق‌تر ریشه بین \([-1, 0]\) استفاده کنیم. ابتدا نقطه میانی را امتحان می‌کنیم:
- \( f(-0.5) = (-0.5)^3 + 2(-0.5) - 1 = -0.125 - 1 - 1 = -2.125 \)
چون \( f(-0.5) \) هنوز منفی است و \( f(0) \) نیز منفی است، به میانه \([-1, -0.5]\) می‌رویم.
3. **تکرار روش تا نزدیکی کافی:**
با ادامه دادن همین روش به دقت بیشتری در تعیین ریشه دست می‌یابیم.
### حاصل:
با استفاده از روش آزمون و خطا یا روش‌های عددی دقیق می‌توان ریشه را دقیق یافت. در این محدوده، ریشه عددی دقیق به فرمی مشابه \(-0.5\) خواهد بود. برای دقت بیشتر، از تکنیک‌های عددی دقیق‌تر مانند استفاده از ماشین‌حساب یا نرم‌افزارهای عددی کمک بگیرید.
