برای حل عبارت داده شده، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
عبارت اصلی:
\[
\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} - \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}
\]
هر کدام از رادیکالها را بررسی میکنیم:
1. **اولین عبارت:** \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\)
این عبارت را به فرم \(\sqrt{a^2 - 2ab + b^2}\) مینویسیم. فرض کنید \((a-b)^2 = 5 - 2\sqrt{6}\). با این فرض:
- \(a^2 + b^2 = 5\)
- \(2ab = 2\sqrt{6} \implies ab = \sqrt{6}\)
اگر \(a = \sqrt{2}\) و \(b = \sqrt{3}\)، آنگاه داریم:
\((\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = 2 + 3 - 2\sqrt{6} = 5 - 2\sqrt{6}\)
پس: \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} - \sqrt{3}\)
2. **دومین عبارت:** \(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}\)
این عبارت به فرم \(\sqrt{a^2 + 2ab + b^2}\) است. فرض کنید \((a+b)^2 = 3 + 2\sqrt{2}\). با این فرض:
- \(a^2 + b^2 = 3\)
- \(2ab = 2\sqrt{2} \implies ab = \sqrt{2}\)
اگر \(a = 1\) و \(b = \sqrt{2}\)، آنگاه داریم:
\((1+\sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2}\)
پس: \(\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}\)
3. **سومین عبارت:** \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)
از روش مشابه استفاده میکنیم: این عبارت به فرم \((a+b)^2\) است. فرض کنید \((a+b)^2 = 5 + 2\sqrt{6}\). با این فرض:
- \(a^2 + b^2 = 5\)
- \(2ab = 2\sqrt{6} \implies ab = \sqrt{6}\)
اگر \(a = \sqrt{3}\) و \(b = \sqrt{2}\)، آنگاه داریم:
\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}\)
پس: \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}\)
حالا همه را جاگذاری میکنیم:
\[
(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} + \sqrt{2})
\]
ابتدا پرانتزها را باز میکنیم:
\[
\sqrt{2} - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2}
\]
سادهسازی میکنیم:
\[
\sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 2 - 2\sqrt{3} + 1
\]
در نتیجه:
\[
= 1
\]
