سه دهم یا چهار یازدهمی و پنج دوازدهمی را به چند طریق می‌توانیم طوری بنشانیم که یازدهمیا کنار هم باشند و هیچ دو دهمی کنار هم نباشند؟

برای حل این مسئله ابتدا به بررسی ماهیت اعداد داده شده می‌پردازیم: ما سه عدد از نوع «دهم» داریم (3 عدد: \( \frac{3}{10} \) )، و دو عدد از نوع «یازدهمی» (2 عدد: \( \frac{4}{11} \) )، و چهار عدد از نوع «دوازدهمی» (4 عدد: \( \frac{5}{12} \) ). ### مرحله 1: چیدمان یازدهمی‌ها از آنجا که باید یازدهمی‌ها کنار هم باشند، می‌توانیم آن‌ها را به عنوان یک واحد در نظر بگیریم. بنابراین، این واحد شامل 2 عدد از نوع یازدهمی است. بنابراین ما این واحد را «\( Y \)» نام‌گذاری می‌کنیم. ### مرحله 2: محاسبه تعداد کل واحدها معادله تا به حال به صورت زیر است: - 1 واحد از نوع \( Y \) (یازدهمی‌ها) - 3 عدد از نوع دهم (3 عدد: \( \frac{3}{10} \) ) - 4 عدد از نوع دوازدهمی (4 عدد: \( \frac{5}{12} \) ) بنابراین، در مجموع 1 + 3 + 4 = 8 واحد داریم. ### مرحله 3: چیدمان واحدها اگر بخواهیم این 8 واحد (3 دهم و 1 یازدهمی و 4 دوازدهمی) را طوری بچینیم که هیچ دو دهمی در کنار هم قرار نگیرند، باید از ترفند قرار دادن دوازدهمی‌ها برای جداسازی دهمی‌ها استفاده کنیم. #### ترتیب ابتدایی: ما 4 عدد از نوع دوازدهمی را قرار می‌دهیم. این 4 عدد می‌تواند به صورت زیر قرار بگیرد: \[ D_1, D_2, D_3, D_4 \] ### مرحله 4: قرار دادن واحدهای دیگر وقتی 4 عدد دوازدهمی را در کنار هم بگذاریم، بین آن‌ها می‌توانیم حفره‌هایی برای قرار دادن دهمی‌ها به وجود بیاوریم. در واقع: - قبل از \( D_1 \) - بین \( D_1 \) و \( D_2 \) - بین \( D_2 \) و \( D_3 \) - بین \( D_3 \) و \( D_4 \) - بعد از \( D_4 \) در مجموع 5 جایگاه برای قرار دادن دهمی‌ها داریم. ما 3 دهمی داریم و باید آن‌ها را در 5 جایگاهی که داریم قرار دهیم به گونه‌ای که هیچ دو دهمی در کنار هم قرار نگیرند. این کار به معنی انتخاب 3 جایگاه برای دهمی‌ها از 5 جایگاه است. ### مرحله 5: انتخاب جایگاه‌ها این انتخاب با فرمول ترکیبی محاسبه می‌شود: \[ C(5,3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \] ### مرحله 6: ترتیب واحدها حالا که دهمی‌ها را در جایگاه‌های انتخابی قرار دادیم، حالا فقط باید یازدهمی‌ها (2 عدد) را در کنار هم قرار دهیم. از آنجا که یازدهمی‌ها به عنوان یک واحد در نظر گرفته شده‌اند، می‌توانیم آن‌ها را تنها به یک صورت قرار دهیم. ### نتیجه‌گیری بنابراین، تعداد کل روش‌هایی که می‌توان این اعداد را طوری چید که یازدهمی‌ها کنار هم باشند و هیچ دو دهمی در کنار هم قرار نگیرند، برابر با 10 راه می‌باشد. پاسخ نهایی: **10 روش**