برای حل این مسئله، به محصول زیر توجه میکنیم:
\[
(1 + \frac{1}{2})(1 + \frac{1}{3})(1 + \frac{1}{4}) \cdots (1 + \frac{1}{2013})
\]
هر جمله از حاصلضرب به شکل \(1 + \frac{1}{n}\) است، که میتوان آن را به صورت \(\frac{n+1}{n}\) نوشت.
بنابراین، این محصول را به این صورت مینویسیم:
\[
\frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \cdots \times \frac{2014}{2013}
\]
اگر دقت کنیم، میبینیم که این یک دنبالهی تلسکوپی است. بیشتر جملات در صورت و مخرج حذف میشوند و فقط چند جمله در ابتدا و انتها باقی میماند.
جملات درونی این کسر به طور جالبی حذف میشوند به طوری که:
\[
\frac{2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times 2014}{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 2013}
\]
تمام جملات در صورت و مخرج حذف میشوند به جز \(\frac{2014}{1}\).
بنابراین، حاصل نهایی برابر است با:
\[2014\]
