دریک گروه گردهمایی ۱۳۱ نفر زبان فرانسه می دانند ۱۴۱ نفر انگلیسی ۹۹ نفر ایتالیایی ۵۲نفر هم فرانسه و هم انگلیسی ۳۵ نفر هم انگلیسی و هم ایتالیایی ۳۸ نفر هم فرانسه و هم ایتالیایی و ۲۱ نفر هر س زبان فرانسه و انگلیسی و ایتالیایی را میدانند در این گردهمایی چند نفر هستند که حداقل یکی از ۳ زبان را می دانند ؟

برای حل این مسئله از اصل شمول و عدم شمول (principle of inclusion-exclusion) استفاده می‌کنیم. بگذارید: - \( A \) : مجموعه افرادی که زبان فرانسه می‌دانند. - \( B \) : مجموعه افرادی که زبان انگلیسی می‌دانند. - \( C \) : مجموعه افرادی که زبان ایتالیایی می‌دانند. مشخصات داده شده به صورت زیر است: - \( |A| = 131 \) (افراد زبان فرانسه) - \( |B| = 141 \) (افراد زبان انگلیسی) - \( |C| = 99 \) (افراد زبان ایتالیایی) - \( |A \cap B| = 52 \) (افراد که هم فرانسه و هم انگلیسی می‌دانند) - \( |B \cap C| = 35 \) (افراد که هم انگلیسی و هم ایتالیایی می‌دانند) - \( |C \cap A| = 38 \) (افراد که هم ایتالیایی و هم فرانسه می‌دانند) - \( |A \cap B \cap C| = 21 \) (افراد که هر سه زبان را می‌دانند) ما می‌خواهیم تعداد افرادی را پیدا کنیم که حداقل یکی از سه زبان را می‌دانند، یعنی \( |A \cup B \cup C| \). طبق اصل شمول و عدم شمول داریم: \[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C| \] حالا مقادیر را جایگذاری می‌کنیم: \[ |A \cup B \cup C| = 131 + 141 + 99 - 52 - 35 - 38 + 21 \] حساب می‌کنیم: \[ |A \cup B \cup C| = 131 + 141 + 99 - 52 - 35 - 38 + 21 \] \[ = 371 - 125 + 21 \] \[ = 371 - 104 \] \[ = 267 \] بنابراین، تعداد افرادی که حداقل یکی از سه زبان را می‌دانند برابر با **267 نفر** است.