برای حل این سوال، باید از روابط پایهای ریشههای معادله درجه دوم استفاده کنیم. معادله درجه دوم مورد نظر به صورت زیر داده شده است:
\[ x^2 - 6x + \frac{1}{2} = 0 \]
ریشههای این معادله \(\alpha\) و \(\beta\) هستند.
### استفاده از روابط ویِتا:
- مجموع ریشهها: \(\alpha + \beta = 6\)
- حاصلضرب ریشهها: \(\alpha \beta = \frac{1}{2}\)
به ترتیب به سوالات پاسخ میدهیم:
**الف) محاسبه \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\):**
\[
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12
\]
**ب) محاسبه \(\alpha^7 + \beta^7\):**
برای محاسبه \(\alpha^7 + \beta^7\)، از روابط بازگشتی استفاده میکنیم. در ابتدا \(\alpha^n + \beta^n\) را برای \((n=0, 1, 2)\) پیدا میکنیم:
- \(\alpha^0 + \beta^0 = 2\)
- \(\alpha^1 + \beta^1 = \alpha + \beta = 6\)
- \(\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 36 - 1 = 35\)
برای محاسبه \(\alpha^n + \beta^n\)، رابطه بازگشتی زیر را داریم:
\[
\alpha^n + \beta^n = (\alpha + \beta)(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1}) - \alpha\beta(\alpha^{n-2} + \beta^{n-2})
\]
ادامه میدهیم:
- \(\alpha^3 + \beta^3 = 6 \times 35 - \frac{1}{2} \times 6 = 210 - 3 = 207\)
- \(\alpha^4 + \beta^4 = 6 \times 207 - \frac{1}{2} \times 35 = 1242 - 17.5 = 1224.5\)
- \(\alpha^5 + \beta^5 = 6 \times 1224.5 - \frac{1}{2} \times 207 = 7347 - 103.5 = 7243.5\)
- \(\alpha^6 + \beta^6 = 6 \times 7243.5 - \frac{1}{2} \times 1224.5 = 43461 - 612.25 = 42848.75\)
- \(\alpha^7 + \beta^7 = 6 \times 42848.75 - \frac{1}{2} \times 7243.5 = 257092.5 - 3621.75 = 253470.75\)
**نتیجه:**
الف) \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 12\)
ب) \(\alpha^7 + \beta^7 = 253470.75\)
پاسخها براساس روال فوق محاسبه شده و بررسی صحت آنها بر عهده فردی است که مسئله را پیگیری میکند.
