برای حل این مسأله، تابع \( f \) به صورت زیر تعریف شده است:
\[ f(\sqrt{x+1}) = x + 2\sqrt{x} + 2 \]
هدف ما یافتن \( f(f(\sqrt{2})) \) است.
1. ابتدا باید مقدار \( f(\sqrt{2}) \) را در تابع بیابیم. فرض کنیم \( y = \sqrt{2} \). بنابراین \( x+1 = 2 \) و \( x = 1 \).
جایگذاری در تابع:
\[
f(\sqrt{2}) = 1 + 2\sqrt{1} + 2 = 1 + 2 + 2 = 5
\]
2. اکنون \( f(5) \) را پیدا میکنیم. با توجه به تابع، اگر \( y = 5 \) باشد، آنگاه \( y = \sqrt{x+1} \) یا \( x+1 = 25 \) و \( x = 24 \).
جایگذاری در تابع:
\[
f(5) = 24 + 2\sqrt{24} + 2
\]
برای محاسبه \( 2\sqrt{24} \)، ابتدا محاسبه میکنیم:
\[
2\sqrt{24} = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}
\]
بنابراین:
\[
f(5) = 24 + 4\sqrt{6} + 2 = 26 + 4\sqrt{6}
\]
بنابراین، نتیجه \( f(f(\sqrt{2})) = 26 + 4\sqrt{6} \).
