برای حل این سوال، ابتدا دنباله اعداد کسری داده شده را بررسی میکنیم:
\[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \]
این دنباله به صورت یک سری هندسی متناوب است که با \(1\) شروع میشود. جمله اول \(\frac{1}{2}\) است و به صورت متناوب (+ و -) ادامه دارد.
این سری به صورت کلی میتواند اینگونه نوشته شود:
\[ S = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \ldots \]
جملات دوم به بعد میتوانند به صورت سری هندسی متناوب نوشته شوند:
\[ \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \ldots \right) \]
سری داخل پرانتز خودش یک سری هندسی با نسبت \(-\frac{1}{2}\) است. مجموع سری هندسی با نسبت \(r\) و جمله اول \(a\) به صورت زیر است:
\[ \frac{a}{1-r} \]
بنابراین، مجموع سری داخل پرانتز برابر است با:
\[ \frac{1}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1+\frac{1}{2}} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3} \]
با توجه به ضریب \(\frac{1}{2}\)، داریم:
\[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \]
حالا مجموع کل سری \(S\) برابر میشود با:
\[ S = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
بنابراین، گزینه \( \frac{4}{3} \) (که معمولاً به صورت \( 1 \frac{1}{3} \) نوشته میشود) جواب درست خواهد بود.
