برای حل این مسئله، ابتدا مفهوم تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه را مرور می‌کنیم. اگر مجموعه \( A \) دارای \( n \) عضو باشد، تعداد زیرمجموعه‌های آن برابر \( 2^n \) است.
حال فرض کنید که مجموعه \( A \) دارای \( n \) عضو است. اگر ۳ عضو از آن حذف کنیم، مجموعه جدید دارای \( n-3 \) عضو خواهد بود و تعداد زیرمجموعه‌های آن برابر با \( 2^{n-3} \) میشود.
از طرفی مطابق با مسئله، تعداد زیرمجموعه‌ها ۲۲۴ واحد کم شده‌است، بنابراین داریم:
\[ 2^n - 2^{n-3} = 224 \]
با خارج‌کردن \( 2^{n-3} \) از طرف چپ، معادله به شکل زیر درمی‌آید:
\[ 2^{n-3} (2^3 - 1) = 224 \]
که ساده شده، میشود:
\[ 7 \times 2^{n-3} = 224 \]
با تقسیم هر دو طرف بر ۷ داریم:
\[ 2^{n-3} = 32 \]
چون \( 32 = 2^5 \)، بنابراین:
\[ n-3 = 5 \]
از اینجا نتیجه می‌گیریم که:
\[ n = 8 \]
حال تعداد زیرمجموعه‌های محض مجموعه \( A \) با ۸ عضو برابر است با:
\[ 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255 \]
بنابراین، مجموعه \( A \) دارای ۸ عضو و ۲۵۵ زیرمجموعه محض است.
