اگر سه عضو از مجموعه A حذف کنید تعداد زیر مجموعه های آن ۲۲۴ واحد کم می‌شود مجموعه A چند عضو و چند زیر مجموعه محض دارد؟

برای حل این مسئله، ابتدا مفهوم تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه را مرور می‌کنیم. اگر مجموعه \( A \) دارای \( n \) عضو باشد، تعداد زیرمجموعه‌های آن برابر \( 2^n \) است. حال فرض کنید که مجموعه \( A \) دارای \( n \) عضو است. اگر ۳ عضو از آن حذف کنیم، مجموعه جدید دارای \( n-3 \) عضو خواهد بود و تعداد زیرمجموعه‌های آن برابر با \( 2^{n-3} \) می‌شود. از طرفی مطابق با مسئله، تعداد زیرمجموعه‌ها ۲۲۴ واحد کم شده‌است، بنابراین داریم: \[ 2^n - 2^{n-3} = 224 \] با خارج‌کردن \( 2^{n-3} \) از طرف چپ، معادله به شکل زیر درمی‌آید: \[ 2^{n-3} (2^3 - 1) = 224 \] که ساده شده، می‌شود: \[ 7 \times 2^{n-3} = 224 \] با تقسیم هر دو طرف بر ۷ داریم: \[ 2^{n-3} = 32 \] چون \( 32 = 2^5 \)، بنابراین: \[ n-3 = 5 \] از اینجا نتیجه می‌گیریم که: \[ n = 8 \] حال تعداد زیرمجموعه‌های محض مجموعه \( A \) با ۸ عضو برابر است با: \[ 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255 \] بنابراین، مجموعه \( A \) دارای ۸ عضو و ۲۵۵ زیرمجموعه محض است.