برای بخش اول:
برای یافتن دو واسطه هندسی بین ۸ و ۲۷ از نسبت مشترک \( r \) استفاده میکنیم.
فرض کنید واسطهها \( a \) و \( b \) هستند. بنابراین دنباله هندسی به صورت زیر خواهد بود:
\[ 8, a, b, 27 \]
نسبت مشترک \( r \) به این صورت تعریف میشود:
\[ a = 8r \]
\[ b = 8r^2 \]
\[ 27 = 8r^3 \]
با حل معادله \( 8r^3 = 27 \) خواهیم داشت:
\[ r^3 = \frac{27}{8} \]
\[ r = \frac{3}{2} \]
پس:
\[ a = 8 \times \frac{3}{2} = 12 \]
\[ b = 12 \times \frac{3}{2} = 18 \]
پس دو واسطه هندسی ۱۲ و ۱۸ هستند.
برای بخش دوم:
گزینههای ارائهشده بررسی میشوند که آیا دنباله حسابی یا هندسی هستند.
الف) هر دنبالهای به واسطه یک نسبت مشترک هندسی و یک اختلاف مشترک حسابی مشخص میشود، بنابراین جملهای که هم حسابی و هم هندسی باشد باید تمام جملاتش برابر باشند (چون فقط یک عدد میتواند همزمان با خودش هم اختلاف و هم نسبت داشته باشد).
ب) این حالت ممکن نیست چراکه دنباله نمیتواند همزمان حسابی نباشد و هندسی باشد.
پ) همانطور که در بخش الف توضیح داده شد، دنبالهای که و حسابی و هندسی باشد، هر جمله باید با جمله بعدی و قبلی برابر باشد.
