پرسش داده شده به نظر میرسد شامل مجموعهای از نامعادلات است که باید حل شوند. به حل هر کدام از نامعادلات زیر بپردازیم:
الف) \( x - 1 < 5 - \frac{x}{x} \leq x^3 + 3 \)
ابتدا روش حل نامعادله اول:
- ابتدا جزء دوم را مرتب میکنیم و سادهسازی میکنیم.
- \( \frac{x}{x} = 1 \) در صورتی که \( x \neq 0 \).
- پس نامعادله اول میشود \( x - 1 < 4 \).
حل:
\[ x < 5 \]
برای قسمت دوم (\( \leq x^3 + 3 \)):
- برای \( \frac{x}{x} \leq x^3 + 3 \) نامعادله به شکل \( 1 \leq x^3 + 3 \) تبدیل میشود.
- سادهسازی نامعادله:
\[ -2 \leq x^3 \]
ترکیب نتایج دو نامعادله:
\[ -2 \leq x^3 \quad \text{و} \quad x < 5 \]
ب) \( |2x + 3| < 5 \)
این نامعادله مطلق است، که حل آن به صورت زیر انجام میگیرد:
\[ -5 < 2x + 3 < 5 \]
با توجه به دو طرف نامعادله:
اول، حل \( 2x + 3 > -5 \):
\[ 2x > -8 \]
\[ x > -4 \]
دوم، حل \( 2x + 3 < 5 \):
\[ 2x < 2 \]
\[ x < 1 \]
بازه نهایی:
\[ -4 < x < 1 \]
پ) \( \left|\frac{x+1}{2}\right| - 1 \geq 1 \)
ابتدا قسمت درونی \( |\cdot| \) را بررسی میکنیم:
- \(\left| \frac{x+1}{2} \right| \geq 2\)
حل مطلق:
- \( \frac{x+1}{2} \geq 2 \) یا \( \frac{x+1}{2} \leq -2 \)
برای \(\frac{x+1}{2} \geq 2\):
\[ x+1 \geq 4 \]
\[ x \geq 3 \]
برای \(\frac{x+1}{2} \leq -2\):
\[ x+1 \leq -4 \]
\[ x \leq -5 \]
بنابراین، بازه \( x \) خواهد بود:
\[ x \leq -5 \quad \text{یا} \quad x \geq 3 \]
ت) \( \frac{(x-6)(x^2 - 1)}{-3x^2 + 2x + 5} \leq 0 \)
تحلیل علامت برای حاصلضرب و تقسیم عبارتهای درجه دو:
ستون صفرهای مخرج و صورت را مشخص کنید:
- صفرهای صورت: \( x=6 \) و \( x^2=1 \) یعنی \( x=1 \) و \( x=-1 \).
- صفرهای مخرج: به حل معادله درجه دو \( -3x^2 + 2x + 5 = 0 \) نیاز داریم.
پس از تعیین صفرها، جدول تغییر علامت تشکیل میدهیم:
- این جدول شامل ریشهها و نقاط بحرانی است. علامت هر بخش با جایگزینی مقدار در آن بخش تعیین میشود. به نقاط بحرانی نزدیک شوید و تغییر علامت را بررسی کنید.
در نهایت باید بازههایی که نامعادله در آنها صادق است پیدا کنید. نتیجهگیری شامل اتحاد بازههای صحیح با توجه به عدمتعریفها و صورت کسری خواهد بود.
